微积分学示例

$\tan (x) \cot (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$\tan (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\tan (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cot (x)$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x)$

解题步骤 4.2.2

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4.2.3

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4.2.4

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4.2.4.2

约去公因数。

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4.2.4.3

重写表达式。

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 4.2.5

将 $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

解题步骤 4.2.6

分离分数。

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 4.2.7

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\sin (x)} \sec (x)$

解题步骤 4.2.8

分离分数。

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

解题步骤 4.2.9

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{1} \csc (x) \sec (x)$

解题步骤 4.2.10

用 $1^{2}$ 除以 $1$ 。

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + 1^{2} \csc (x) \sec (x)$

解题步骤 4.2.11

一的任意次幂都为一。

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + 1 \csc (x) \sec (x)$

解题步骤 4.2.12

将 $\csc (x)$ 乘以 $1$ 。

$- \csc^{2} (x) \tan (x) + \csc (x) \sec (x)$

微积分学 示例

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