微积分学示例

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \frac{3}{2} \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{3 \cos (t)}{2} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{3 \cos (t)}{2}$ 为正数。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $\sin (t)$ 。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3 \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1.2.1

对 $\frac{3 \sin (t)}{2}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.2.2

对 $3 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.5.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 (- 1) \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.5.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 \cdot - 1 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.5.3

重写表达式。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 1 (9 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.6

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.2

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 9 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.4

从 $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.6

将 $9 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(3 \cos (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $\sin (t)$ 。

$\int \frac{1}{\frac{3 \sin (t)}{2} (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{3 \sin (t)}{2}$ 。

$\int \frac{1}{\frac{3 (3 \sin (t))}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t)}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.4

组合 $\frac{9 \sin (t)}{2}$ 和 $\cos (t)$ 。

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}$ 。

$\int 1 \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.6

将 $\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2.7

将 $\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ 乘以 $\frac{3 \cos (t)}{2}$ 。

$\int \frac{2 (3 \cos (t))}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.8

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{6 \cos (t)}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.9

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\int \frac{6 \cos (t)}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

解题步骤 2.2.10

约去 $6$ 和 $18$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.10.1

从 $6 \cos (t)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\int \frac{6 (\cos (t))}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

解题步骤 2.2.10.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.10.2.1

从 $18 \sin (t) \cos (t)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\int \frac{6 (\cos (t))}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

解题步骤 2.2.10.2.2

约去公因数。

$\int \frac{6 \cos (t)}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

解题步骤 2.2.10.2.3

重写表达式。

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

解题步骤 2.2.11

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.11.1

约去公因数。

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

解题步骤 2.2.11.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{3 \sin (t)} d t$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

解题步骤 4

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 转换成 $\csc (t)$ 。

$\frac{1}{3} \int \csc (t) d t$

解题步骤 5

$\csc (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ 。

$\frac{1}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

解题步骤 6

化简。

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

解题步骤 7

使用 $\arcsin (\frac{2 x}{3})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2 x}{3})) - \cot (\arcsin (\frac{2 x}{3})) |) + C$

解题步骤 8

重新排序项。

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2}{3} x)) - \cot (\arcsin (\frac{2}{3} x)) |) + C$

微积分学 示例

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