微积分学示例

$\int e^{t} \cot (e^{t} - 4) d t$

解题步骤 1

使 $u = e^{t} - 4$ 。然后使 $d u = e^{t} d t$ ，以便 $\frac{1}{e^{t}} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = e^{t} - 4$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $e^{t} - 4$ 求导。

$\frac{d}{d t} [e^{t} - 4]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $e^{t} - 4$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$

解题步骤 1.1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 等于 $a^{t} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{t} + \frac{d}{d t} [- 4]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$e^{t} + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $e^{t}$ 和 $0$ 相加。

$e^{t}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \cot (u) d u$

解题步骤 2

$\cot (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| \sin (u) |)$ 。

$\ln (| \sin (u) |) + C$

解题步骤 3

使用 $e^{t} - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| \sin (e^{t} - 4) |) + C$

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