微积分学示例

$\int \frac{\ln (x^{3})}{8 x} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{\ln (x^{3})}{8 x}$ 重写为 $\frac{3 \ln (x)}{8 x}$ 。

$\int \frac{3 \ln (x)}{8 x} d x$

解题步骤 2

由于 $\frac{3}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{8}$ 移到积分外。

$\frac{3}{8} \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 3

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{3}{8} \int u d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{3}{8} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{3}{8} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ 重写为 $\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ 。

$\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $\frac{3}{8}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{8 \cdot 2} u^{2} + C$

解题步骤 5.2.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{16} u^{2} + C$

解题步骤 6

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{16} \ln^{2} (x) + C$

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