微积分学示例

$\int \frac{\ln (3 t - 5)}{3 t - 5} d t$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 3 t - 5$ 。然后使 $d u_{1} = 3 d t$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 3 t - 5$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 t - 5$ 求导。

$\frac{d}{d t} [3 t - 5]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $3 t - 5$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [3 t]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d t} [- 5]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 3} d u_{1}$

解题步骤 2.2

将 $3$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$\int \frac{\ln (u_{1})}{3 u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 4

使 $u_{2} = \ln (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ ，以便 $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{2} = \ln (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\ln (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

解题步骤 4.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}}$

解题步骤 4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 5

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ 重写为 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 6.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 7

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 7.1

使用 $\ln (u_{1})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{6} \ln^{2} (u_{1}) + C$

解题步骤 7.2

使用 $3 t - 5$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{6} \ln^{2} (3 t - 5) + C$

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