微积分学示例

$\int \frac{\ln (1 + \sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 1.3

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.4

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 1.4.3

将负号移到分数的前面。

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ，以便 $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $1 + x^{\frac{1}{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $1 + x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 2.1.3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 2.1.3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.1.3.4

在公分母上合并分子。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 2.1.3.5

化简分子。

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解题步骤 2.1.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

解题步骤 2.1.3.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

解题步骤 2.1.3.6

将负号移到分数的前面。

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.4.2

合并项。

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解题步骤 2.1.4.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.4.2.2

将 $0$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 相加。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int 2 \ln (u) d u$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \ln (u) d u$

解题步骤 4

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = \ln (u)$ ， $dv = 1$ 。

$2 (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $u$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

解题步骤 5.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

解题步骤 5.2.2

重写表达式。

$2 (\ln (u) u - \int d u)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$2 (\ln (u) u - (u + C))$

解题步骤 7

化简。

$2 (\ln (u) u - u) + C$

解题步骤 8

使用 $1 + x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}})) + C$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 9.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 9.3

运用分配律。

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 9.4.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

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