微积分学示例

$\int e^{2 x} \sin (e^{x}) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{u_{1}}$ 。

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{e^{u_{1}}}{2}$ 和 $\sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})$ 。

$\int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

解题步骤 4

使 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ ，以便 $2 d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\frac{u_{1}}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

解题步骤 4.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $\frac{u_{1}}{2}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 4.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \cdot 2 d u_{2}$

解题步骤 5.3

将 $2$ 移到 $e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}})$ 的左侧。

$\frac{1}{2} \int 2 e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (2 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

解题步骤 7.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$1 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

解题步骤 7.3

将 $\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

解题步骤 8

使 $u_{3} = e^{u_{2}}$ 。然后使 $d u_{3} = e^{u_{2}} d u_{2}$ ，以便 $\frac{1}{e^{u_{2}}} d u_{3} = d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{3} = e^{u_{2}}$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $e^{u_{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}]$

解题步骤 8.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{2}}$

解题步骤 8.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$\int u_{3} \sin (u_{3}) d u_{3}$

解题步骤 9

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u_{3}$ ， $dv = \sin (u_{3})$ 。

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - \int - \cos (u_{3}) d u_{3}$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - - \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + 1 \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

解题步骤 11.2

将 $\int \cos (u_{3}) d u_{3}$ 乘以 $1$ 。

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

解题步骤 12

$\cos (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $\sin (u_{3})$ 。

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$

解题步骤 13

将 $u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$ 重写为 $- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$ 。

$- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$

解题步骤 14

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 14.1

使用 $e^{u_{2}}$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$- e^{u_{2}} \cos (e^{u_{2}}) + \sin (e^{u_{2}}) + C$

解题步骤 14.2

使用 $\frac{u_{1}}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- e^{\frac{u_{1}}{2}} \cos (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + C$

解题步骤 14.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 x}{2}$ 。

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解题步骤 15.1.1

约去公因数。

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

解题步骤 15.1.2

重写表达式。

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

解题步骤 15.2

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 x}{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1

约去公因数。

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

解题步骤 15.2.2

重写表达式。

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

解题步骤 15.3

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 x}{2}$ 。

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解题步骤 15.3.1

约去公因数。

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

解题步骤 15.3.2

重写表达式。

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

解题步骤 15.4

用 $x$ 除以 $1$ 。

$- e^{x} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

解题步骤 15.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

解题步骤 15.6

用 $x$ 除以 $1$ 。

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{x}) + C$

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