微积分学示例

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 3 \csc (2 x) d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) d x$

解题步骤 2

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

解题步骤 2.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

解题步骤 2.3.2

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3

重写表达式。

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 2.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

解题步骤 2.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 3

组合 $\csc (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\csc (u)}{2} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) d u)$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) d u$

解题步骤 6

$\csc (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ 。

$\frac{3}{2} \ln (| \csc (u) - \cot (u) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 7

计算 $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$\frac{3}{2} (\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

解题步骤 8.2

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

解题步骤 8.3

$\csc (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |))$

解题步骤 8.4

$\cot (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

解题步骤 8.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 + 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

解题步骤 8.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

解题步骤 8.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |))$

解题步骤 8.8

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{3}{2} \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

解题步骤 8.9

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $\ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$ 。

$\frac{3 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})}{2}$

解题步骤 9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{3 \ln (\frac{1}{| \sqrt{2} - 1 |})}{2}$

解题步骤 9.2

$\sqrt{2} - 1$ 约为 $0.41421356$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{3 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1})}{2}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1})}{2}$

小数形式：

$1.32206038 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例