微积分学示例

$\int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sin (2 x) d x$

解题步骤 1

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{6})$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1.1

将 $- \frac{π}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{6}$

解题步骤 1.3.1.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 (3)}$

解题步骤 1.3.1.3

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.3.1.4

重写表达式。

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

解题步骤 1.3.2

将负号移到分数的前面。

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

解题步骤 1.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

解题步骤 1.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u) d u$

解题步骤 4

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

解题步骤 5

计算 $- \cos (u)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $- \frac{π}{3}$ 处的值。

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 6

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3}))$

解题步骤 7.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3}))$

解题步骤 7.1.3

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

解题步骤 7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 1}{2}$

解题步骤 7.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2}$

解题步骤 7.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 0$

解题步骤 7.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$0$

微积分学 示例

微积分学示例