微积分学示例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 1

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (x)$ 的形式。

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 x) d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

解题步骤 5

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 5.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.3.3

重写表达式。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

解题步骤 5.5

组合 $2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 6

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

解题步骤 8

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $x$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{2 π}{3}})$

解题步骤 9.2

计算 $\sin (u)$ 在 $\frac{2 π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{2}$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 9.3.2

要将 $- \frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 9.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 9.3.3.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 9.3.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 9.3.3.3

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 9.3.3.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 9.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (\frac{π \cdot 4 - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 9.3.5

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot π - π \cdot 3}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 9.3.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{4 π - 3 π}{12} + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 9.3.7

从 $4 π$ 中减去 $3 π$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1 \cdot 1))$

解题步骤 10.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 1))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - 1))$

解题步骤 11.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 1))$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

解题步骤 11.3

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 11.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

解题步骤 11.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

解题步骤 11.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{- 1}{2})$

解题步骤 11.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2})$

解题步骤 11.6

运用分配律。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 11.7

化简。

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解题步骤 11.7.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{12}$ 。

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解题步骤 11.7.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{12}$ 。

$\frac{π}{2 \cdot 12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 11.7.1.2

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$\frac{π}{24} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 11.7.2

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ 。

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解题步骤 11.7.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 。

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 11.7.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 11.7.3

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 11.7.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 11.7.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{24} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}$

小数形式：

$0.09740604 \dots$

微积分学 示例

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