微积分学示例

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 x + \cos (x) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 2 x d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}) + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}) + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

解题步骤 5

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}) + \sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

代入并化简。

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解题步骤 6.1.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $- \frac{π}{2}$ 处的值。

$2 ((\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- \frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 6.1.2

计算 $\sin (x)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $- \frac{π}{2}$ 处的值。

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

解题步骤 6.1.3

化简。

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解题步骤 6.1.3.1

从 $- \frac{π}{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- (\frac{π}{2}))}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

解题步骤 6.1.3.2

对 $- (\frac{π}{2})$ 运用乘积法则。

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

解题步骤 6.1.3.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{1 {(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

解题步骤 6.1.3.4

将 ${(\frac{π}{2})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

解题步骤 6.1.3.5

在公分母上合并分子。

$2 \frac{{(\frac{π}{2})}^{2} - {(\frac{π}{2})}^{2}}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

解题步骤 6.1.3.6

从 ${(\frac{π}{2})}^{2}$ 中减去 ${(\frac{π}{2})}^{2}$ 。

$2 (\frac{0}{2}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

解题步骤 6.1.3.7

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.7.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{2 (0)}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

解题步骤 6.1.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.3.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

解题步骤 6.1.3.7.2.2

约去公因数。

$2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

解题步骤 6.1.3.7.2.3

重写表达式。

$2 (\frac{0}{1}) + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

解题步骤 6.1.3.7.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$2 \cdot 0 + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

解题步骤 6.1.3.8

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0 + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

解题步骤 6.1.3.9

将 $0$ 和 $\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$ 相加。

$\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})$

解题步骤 6.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$1 - \sin (- \frac{π}{2})$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$1 - \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 6.3.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$1 - - \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 6.3.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$1 - (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 6.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 - - 1$

解题步骤 6.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 1$

解题步骤 6.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2$

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