微积分学示例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) d x$

解题步骤 1

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{3} d u$

解题步骤 2

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $\frac{1}{4} u^{4}$ 在 $1$ 处和在 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 处的值。

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 4.1.2

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.1

将 ${\sqrt{2}}^{4}$ 重写为 $2^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 4.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}}$

解题步骤 4.1.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}}$

解题步骤 4.1.2.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}}$

解题步骤 4.1.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}}$

解题步骤 4.1.2.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}}$

解题步骤 4.1.2.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}}$

解题步骤 4.1.2.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{2}}{2^{4}}$

解题步骤 4.1.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{2^{4}}$

解题步骤 4.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

解题步骤 4.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

将 $- \frac{1}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

解题步骤 4.1.4.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

解题步骤 4.1.4.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

解题步骤 4.2

要将 $\frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{16}$

解题步骤 4.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16}$

解题步骤 4.3.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{4 - 1}{16}$

解题步骤 4.5

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{3}{16}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3}{16}$

小数形式：

$0.1875$

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