微积分学示例

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} e^{\sin (q)} \cdot \cos (q) d q$

解题步骤 1

使 $u = \sin (q)$ 。然后使 $d u = \cos (q) d q$ ，以便 $\frac{1}{\cos (q)} d u = d q$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \sin (q)$ 。求 $\frac{d u}{d q}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sin (q)$ 求导。

$\frac{d}{d q} [\sin (q)]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (q)$ 对 $q$ 的导数为 $\cos (q)$ 。

$\cos (q)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \sin (q)$ 中的 $q$ 。

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \sin (q)$ 中的 $q$ 。

$u_{upper} = \sin (π)$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$u_{upper} = \sin (0)$

解题步骤 1.5.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{0} e^{u} d u$

解题步骤 2

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{u}]_{1}^{0}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $e^{u}$ 在 $0$ 处和在 $1$ 处的值。

$(e^{0}) - e^{1}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 - e^{1}$

解题步骤 3.2.2

化简。

$1 - e$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$1 - e$

小数形式：

$- 1.71828182 \dots$

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