微积分学示例

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 + \cos (x)}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 + \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- d u = \sin (x) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

设 $u = 1 + \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

对 $1 + \cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$0 - \sin (x)$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $\sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 + \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$u_{lower} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3.3

在公分母上合并分子。

$u_{lower} = \frac{2 + 1}{2}$

解题步骤 1.3.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 + \cos (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{upper} = 1 + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 2

将负号移到分数的前面。

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 4.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{\frac{3}{2}}^{1})$

解题步骤 6

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

计算 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $1$ 处和在 $\frac{3}{2}$ 处的值。

$- ((2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

一的任意次幂都为一。

$- (2 \cdot 1 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- (2 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

运用分配律。

$- 1 \cdot 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

小数形式：

$0.44948974 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例