微积分学示例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cot (x) d x$

解题步骤 1

$\cot (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sin (x) |)$ 。

$\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

计算 $\ln (| \sin (x) |)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $\frac{π}{4}$ 处的值。

$\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

解题步骤 2.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |)$

解题步骤 2.2.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 约为 $0.8660254$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

解题步骤 2.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 约为 $0.70710678$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

解题步骤 2.3.3

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}})$

解题步骤 2.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.1

约去公因数。

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}})$

解题步骤 2.3.4.2

重写表达式。

$\ln (\sqrt{3} \frac{1}{\sqrt{2}})$

解题步骤 2.3.5

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 。

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

小数形式：

$0.20273255 \dots$

微积分学 示例

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