微积分学示例

$\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$

解题步骤 1

将 $e^{2 x}$ 和 $\cos (4 x)$ 重新排序。

$\int \cos (4 x) e^{2 x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (4 x)$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$\cos (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- 4 \sin (4 x)) d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2} \cdot - 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2} \cdot - 4$ 移到积分外。

$\cos (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\cos (4 x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

解题步骤 4.2

组合 $\cos (4 x)$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 4 \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 4$ 。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} \int e^{2 x} (\sin (4 x)) d x)$

解题步骤 4.4

将 $e^{2 x}$ 和 $\sin (4 x)$ 重新排序。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} \int \sin (4 x) e^{2 x} d x)$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (4 x)$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (4 \cos (4 x)) d x))$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2} \cdot 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2} \cdot 4$ 移到积分外。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\sin (4 x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

解题步骤 7.2

组合 $\sin (4 x)$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

解题步骤 7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 4}{2} (\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)))$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4}{2} \cdot \frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

解题步骤 7.5

将 $\frac{\sin (4 x) e^{2 x}}{2}$ 乘以 $\frac{- 4}{2}$ 。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{2 \cdot 2} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

解题步骤 7.6

乘。

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解题步骤 7.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} - \frac{- 4}{2} (- (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x))$

解题步骤 7.6.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + 1 (\frac{- 4}{2}) (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)$

解题步骤 7.6.3

将 $\frac{- 4}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 4}{2} (\frac{4}{2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x)$

解题步骤 7.7

将 $\frac{4}{2}$ 乘以 $\frac{- 4}{2}$ 。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{4 \cdot - 4}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

解题步骤 7.8

乘。

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解题步骤 7.8.1

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 16}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

解题步骤 7.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4} + \frac{- 16}{4} \int e^{2 x} (\cos (4 x)) d x$

解题步骤 8

求解 $\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$ ，我们发现 $\int e^{2 x} \cos (4 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4}}{\frac{20}{4}}$ 。

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (4 x) e^{2 x} \cdot - 4}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

将 $- 4$ 移到 $\sin (4 x) e^{2 x}$ 的左侧。

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 4 \cdot (\sin (4 x) e^{2 x})}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

解题步骤 9.1.2

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $- 4 \sin (4 x) e^{2 x}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4}}{\frac{20}{4}} + C$

解题步骤 9.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4 (1)}}{\frac{20}{4}} + C$

解题步骤 9.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{4 (- \sin (4 x) e^{2 x})}{4 \cdot 1}}{\frac{20}{4}} + C$

解题步骤 9.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - \frac{- \sin (4 x) e^{2 x}}{1}}{\frac{20}{4}} + C$

解题步骤 9.1.2.2.4

用 $- \sin (4 x) e^{2 x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} - (- \sin (4 x) e^{2 x})}{\frac{20}{4}} + C$

解题步骤 9.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 1 (\sin (4 x) e^{2 x})}{\frac{20}{4}} + C$

解题步骤 9.1.4

将 $\sin (4 x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{20}{4}} + C$

解题步骤 9.1.5

约去 $20$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.5.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4}} + C$

解题步骤 9.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4 (1)}} + C$

解题步骤 9.1.5.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1}} + C$

解题步骤 9.1.5.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{\frac{5}{1}} + C$

解题步骤 9.1.5.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5} + C$

解题步骤 9.1.6

将 $\frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x}}{5} + C$

解题步骤 9.1.7

合并。

$\frac{2 (\frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + \sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

解题步骤 9.1.8

运用分配律。

$\frac{2 \frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

解题步骤 9.1.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.9.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{\cos (4 x) e^{2 x}}{2} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

解题步骤 9.1.9.2

重写表达式。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 (\sin (4 x) e^{2 x})}{2 \cdot 5} + C$

解题步骤 9.1.10

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}}{10} + C$

解题步骤 9.2

将 $\frac{\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}}{10} + C$ 重写为 $\frac{1}{10} (\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}) + C$ 。

$\frac{1}{10} (\cos (4 x) e^{2 x} + 2 \sin (4 x) e^{2 x}) + C$

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