微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} 3^{\cos (4 t)} \sin (4 t) d t$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \cos (4 t)$ 。然后使 $d u_{2} = - 4 \sin (4 t) d t$ ，以便 $- \frac{1}{4} d u_{2} = \sin (4 t) d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \cos (4 t)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\cos (4 t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\cos (4 t)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = 4 t$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 t$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [4 t]$

解题步骤 1.1.2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [4 t]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $4 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \sin (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- \sin (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.1.3.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \sin (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \sin (4 t) \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4 \sin (4 t)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{2} = \cos (4 t)$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = \cos (4 \cdot 0)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = \cos (0)$

解题步骤 1.3.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{2} = \cos (4 t)$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{8})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 (2)})$

解题步骤 1.5.1.2

约去公因数。

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

解题步骤 1.5.1.3

重写表达式。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.5.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

解题步骤 2.2

组合 $3^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\int_{1}^{0} - \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{1}^{0} \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{0} 3^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 5

$3^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ 。

$- \frac{1}{4} \frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$

解题步骤 6

组合 $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}}{4}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ 在 $0$ 处和在 $1$ 处的值。

$- \frac{(\frac{3^{0}}{\ln (3)}) - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

解题步骤 7.2.2

计算指数。

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3}{\ln (3)}}{4}$

解题步骤 7.2.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{\frac{1 - 3}{\ln (3)}}{4}$

解题步骤 7.2.4

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{\frac{- 2}{\ln (3)}}{4}$

解题步骤 7.2.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$

解题步骤 7.2.6

将 $\frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$ 重写为乘积形式。

$- (- \frac{2}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 7.2.7

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{2}{\ln (3)}$ 。

$- - \frac{2}{4 \ln (3)}$

解题步骤 7.2.8

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.8.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- - \frac{2 (1)}{4 \ln (3)}$

解题步骤 7.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.8.2.1

从 $4 \ln (3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- - \frac{2 (1)}{2 (2 \ln (3))}$

解题步骤 7.2.8.2.2

约去公因数。

$- - \frac{2 \cdot 1}{2 (2 \ln (3))}$

解题步骤 7.2.8.2.3

重写表达式。

$- - \frac{1}{2 \ln (3)}$

解题步骤 7.2.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{2 \ln (3)}$

解题步骤 7.2.10

将 $\frac{1}{2 \ln (3)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

小数形式：

$0.45511961 \dots$

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