微积分学示例

$\int_{0}^{1} 5 x^{2} + \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

解题步骤 4.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

解题步骤 6.2

计算 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

一的任意次幂都为一。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.3

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.3.2.2

约去公因数。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.3.2.3

重写表达式。

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$5 (\frac{1}{3} - 0) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$5 (\frac{1}{3} + 0) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.5

将 $\frac{1}{3}$ 和 $0$ 相加。

$5 (\frac{1}{3}) + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.6

组合 $5$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.8

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.9

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.3.10

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 6.3.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.11.1

约去公因数。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 6.3.11.2

重写表达式。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

解题步骤 6.3.12

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

解题步骤 6.3.13

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

解题步骤 6.3.14

将 $0$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3} + 0$

解题步骤 6.3.15

将 $\frac{2}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 6.3.16

在公分母上合并分子。

$\frac{5 + 2}{3}$

解题步骤 6.3.17

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$\frac{7}{3}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{7}{3}$

小数形式：

$2.\overline{3}$

带分数形式：

$2 \frac{1}{3}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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