微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{1} \frac{52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int_{0}^{1} (52 x^{\frac{7}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{1}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{7}{2} - \frac{1}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{7 - 1}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.5

从 $7$ 中减去 $1$ 。

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{6}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.6

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.6.2.2

约去公因数。

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.6.2.3

重写表达式。

$\int_{0}^{1} 52 x^{\frac{3}{1}} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.6.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{5}{2} - \frac{1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.8

在公分母上合并分子。

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{5 - 1}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.9

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{4}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.10

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.10.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 4.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.10.2.2

约去公因数。

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.10.2.3

重写表达式。

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{\frac{2}{1}} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.10.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.12

在公分母上合并分子。

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{3 - 1}{2}} d x$

解题步骤 4.13

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{2}{2}} d x$

解题步骤 4.14

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.14.1

约去公因数。

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{\frac{2}{2}} d x$

解题步骤 4.14.2

重写表达式。

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x^{1} d x$

解题步骤 4.15

化简。

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} - 66 x^{2} + 22 x d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} 52 x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 66 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

解题步骤 6

由于 $52$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $52$ 移到积分外。

$52 \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 66 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$52 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 66 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 66 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

解题步骤 9

由于 $- 66$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 66$ 移到积分外。

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 22 x d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 22 x d x$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 22 x d x$

解题步骤 12

由于 $22$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $22$ 移到积分外。

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 22 \int_{0}^{1} x d x$

解题步骤 13

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 22 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

解题步骤 14

化简答案。

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解题步骤 14.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$52 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 22 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

解题步骤 14.2

代入并化简。

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解题步骤 14.2.1

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$52 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 66 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 22 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

解题步骤 14.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$52 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

解题步骤 14.2.3

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$52 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4

化简。

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解题步骤 14.2.4.1

一的任意次幂都为一。

$52 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$52 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.3

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.4.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$52 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.4.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$52 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.3.2.2

约去公因数。

$52 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.3.2.3

重写表达式。

$52 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$52 (\frac{1}{4} - 0) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$52 (\frac{1}{4} + 0) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.5

将 $\frac{1}{4}$ 和 $0$ 相加。

$52 (\frac{1}{4}) - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.6

组合 $52$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{52}{4} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.7

约去 $52$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.4.7.1

从 $52$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 13}{4} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.4.7.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 13}{4 (1)} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.7.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 1} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.7.2.3

重写表达式。

$\frac{13}{1} - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.7.2.4

用 $13$ 除以 $1$ 。

$13 - 66 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.8

一的任意次幂都为一。

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.10

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.4.10.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.4.10.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.10.2.2

约去公因数。

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.10.2.3

重写表达式。

$13 - 66 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.10.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$13 - 66 (\frac{1}{3} - 0) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.11

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$13 - 66 (\frac{1}{3} + 0) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.12

将 $\frac{1}{3}$ 和 $0$ 相加。

$13 - 66 (\frac{1}{3}) + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.13

组合 $- 66$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$13 + \frac{- 66}{3} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.14

约去 $- 66$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.4.14.1

从 $- 66$ 中分解出因数 $3$ 。

$13 + \frac{3 \cdot - 22}{3} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.14.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.4.14.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$13 + \frac{3 \cdot - 22}{3 (1)} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.14.2.2

约去公因数。

$13 + \frac{3 \cdot - 22}{3 \cdot 1} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.14.2.3

重写表达式。

$13 + \frac{- 22}{1} + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.14.2.4

用 $- 22$ 除以 $1$ 。

$13 - 22 + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.15

从 $13$ 中减去 $22$ 。

$- 9 + 22 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.16

一的任意次幂都为一。

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 14.2.4.17

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

解题步骤 14.2.4.18

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.4.18.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

解题步骤 14.2.4.18.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.4.18.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 14.2.4.18.2.2

约去公因数。

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 14.2.4.18.2.3

重写表达式。

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

解题步骤 14.2.4.18.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} - 0)$

解题步骤 14.2.4.19

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 9 + 22 (\frac{1}{2} + 0)$

解题步骤 14.2.4.20

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 9 + 22 (\frac{1}{2})$

解题步骤 14.2.4.21

组合 $22$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- 9 + \frac{22}{2}$

解题步骤 14.2.4.22

约去 $22$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.4.22.1

从 $22$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 9 + \frac{2 \cdot 11}{2}$

解题步骤 14.2.4.22.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.4.22.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 9 + \frac{2 \cdot 11}{2 (1)}$

解题步骤 14.2.4.22.2.2

约去公因数。

$- 9 + \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 1}$

解题步骤 14.2.4.22.2.3

重写表达式。

$- 9 + \frac{11}{1}$

解题步骤 14.2.4.22.2.4

用 $11$ 除以 $1$ 。

$- 9 + 11$

解题步骤 14.2.4.23

将 $- 9$ 和 $11$ 相加。

$2$

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例