微积分学示例

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) \sqrt{x^{2} + x} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} + x$ 。然后使 $d u = (2 x + 1) d x$ ，以便 $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} + x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} + x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{2} + x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{2} + 0$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{2} + x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{2} \sqrt{u} d u$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{2}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $2^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.2

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $2$ 乘以 $2^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.2.4

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

约去公因数。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4.2.5.2

重写表达式。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

解题步骤 4.2.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

解题步骤 4.2.7

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.8

将 $0$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0$

解题步骤 4.2.9

将 $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$

小数形式：

$1.88561808 \dots$

解题步骤 6

微积分学 示例

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