微积分学示例

$\int \frac{x + 1}{x^{3}} d x$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x + 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x + 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (x + 1) x^{- 3} d x$

$\int (x + 1) x^{- 3} d x$

$\int (x + 1) x^{- 3} d x$

解题步骤 2

乘以 $(x + 1) x^{- 3}$ 。

$\int x \cdot x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- 3}$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{- 3}$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x^{- 3} + 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 3.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{1 - 3} + 1 x^{- 3} d x$

$\int x^{1 - 3} + 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 3.1.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\int x^{- 2} + 1 x^{- 3} d x$

$\int x^{- 2} + 1 x^{- 3} d x$

解题步骤 3.2

将 $x^{- 3}$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{- 2} + x^{- 3} d x$

$\int x^{- 2} + x^{- 3} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{- 2} d x + \int x^{- 3} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$- x^{- 1} + C + \int x^{- 3} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$- x^{- 1} + C - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

解题步骤 7

化简。

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$