微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

解题步骤 3.2

将 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $x (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}}$ 和 $\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ 。

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2})) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

组合 $\frac{π}{2}$ 和 $\cos (\frac{π}{2})$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 \cos (0) + \sin (0))$

解题步骤 5.2.2.3

将 $0$ 乘以 $\cos (0)$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (0 + \sin (0))$

解题步骤 5.2.2.4

将 $0$ 和 $\sin (0)$ 相加。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$

解题步骤 5.3.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{π \cdot 0}{2} + 1 - \sin (0)$

解题步骤 5.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{π \cdot 0}{2} + 1 - 0$

解题步骤 5.3.4

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{0}{2} + 1 - 0$

解题步骤 5.3.5

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (0)}{2} + 1 - 0$

解题步骤 5.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1 - 0$

解题步骤 5.3.5.2.2

约去公因数。

$- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1 - 0$

解题步骤 5.3.5.2.3

重写表达式。

$- \frac{0}{1} + 1 - 0$

解题步骤 5.3.5.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 0 + 1 - 0$

解题步骤 5.3.6

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 1 - 0$

解题步骤 5.3.7

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1 - 0$

解题步骤 5.3.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.3.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

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