微积分学示例

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

解题步骤 1

\cot (x)

$\cot (x)$ 对

x

$x$ 的积分为

\ln (| \sin (x) |)

$\ln (| \sin (x) |)$ 。

\ln (| \sin (x) |)]_{0}^{\frac{π}{2}}

$\ln (| \sin (x) |)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

计算

\ln (| \sin (x) |)

$\ln (| \sin (x) |)$ 在

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ 处和在

0

$0$ 处的值。

\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (0) |)

$\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (0) |)$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

\sin (\frac{π}{2})

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为

1

$1$ 。

\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (0) |)

$\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (0) |)$

解题步骤 2.2.2

\sin (0)

$\sin (0)$ 的准确值为

0

$0$ 。

\ln (| 1 |) - \ln (| 0 |)

$\ln (| 1 |) - \ln (| 0 |)$

解题步骤 2.2.3

使用对数的商数性质，即

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |})

$\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |})$

\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |})

$\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |})$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

0

$0$ 之间的距离为

0

$0$ 。

\ln (\frac{| 1 |}{0})

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

解题步骤 2.3.2

该表达式包含分母

0

$0$ 。该表达式无定义。

无定义

\ln (\frac{| 1 |}{0})

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

解题步骤 2.4

该表达式包含分母

0

$0$ 。该表达式无定义。

无定义

\ln (\frac{| 1 |}{0})

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

解题步骤 3

该表达式包含分母

0

$0$ 。该表达式无定义。

无定义

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