微积分学示例

$\int \frac{y - 2}{y^{2} + 2 y - 3} d y$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

使用 AC 法来对 $y^{2} + 2 y - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $2$ 。

$- 1, 3$

解题步骤 1.1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{y - 2}{(y - 1) (y + 3)}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{y - 1}$

解题步骤 1.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 3}$

解题步骤 1.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(y - 1) (y + 3)$ 。

$\frac{(y - 2) (y - 1) (y + 3)}{(y - 1) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

解题步骤 1.1.5

约去 $y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{(y - 2) (y - 1) (y + 3)}{(y - 1) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

解题步骤 1.1.5.2

重写表达式。

$\frac{(y - 2) (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

解题步骤 1.1.6

约去 $y + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1

约去公因数。

$\frac{(y - 2) (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

解题步骤 1.1.6.2

用 $y - 2$ 除以 $1$ 。

$y - 2 = \frac{(A) (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

解题步骤 1.1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.1

约去 $y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.1.1

约去公因数。

$y - 2 = \frac{A (y - 1) (y + 3)}{y - 1} + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

解题步骤 1.1.7.1.2

用 $(A) (y + 3)$ 除以 $1$ 。

$y - 2 = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

解题步骤 1.1.7.2

运用分配律。

$y - 2 = A y + A \cdot 3 + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

解题步骤 1.1.7.3

将 $3$ 移到 $A$ 的左侧。

$y - 2 = A y + 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

解题步骤 1.1.7.4

约去 $y + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.4.1

约去公因数。

$y - 2 = A y + 3 A + \frac{(B) (y - 1) (y + 3)}{y + 3}$

解题步骤 1.1.7.4.2

用 $(B) (y - 1)$ 除以 $1$ 。

$y - 2 = A y + 3 A + (B) (y - 1)$

解题步骤 1.1.7.5

运用分配律。

$y - 2 = A y + 3 A + B y + B \cdot - 1$

解题步骤 1.1.7.6

将 $- 1$ 移到 $B$ 的左侧。

$y - 2 = A y + 3 A + B y - 1 \cdot B$

解题步骤 1.1.7.7

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$y - 2 = A y + 3 A + B y - B$

解题步骤 1.1.8

移动 $3 A$ 。

$y - 2 = A y + B y + 3 A - B$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $y$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B$

解题步骤 1.2.2

使方程两边不含 $y$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 2 = 3 A - 1 B$

解题步骤 1.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $1 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $A + B = 1$ 。

$A + B = 1$

$- 2 = 3 A - 1 B$

解题步骤 1.3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A - 1 B$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1 - B$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $1 - B$ 替换 $- 2 = 3 A - 1 B$ 中所有出现的 $A$ .

$- 2 = 3 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

化简 $3 (1 - B) - 1 B$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$- 2 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 2 = 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 2 = 3 - 3 B - 1 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.4

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$- 2 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

从 $- 3 B$ 中减去 $B$ 。

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.3.3

在 $- 2 = 3 - 4 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

将方程重写为 $3 - 4 B = - 2$ 。

$3 - 4 B = - 2$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- 4 B = - 2 - 3$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.3.3.2.2

从 $- 2$ 中减去 $3$ 。

$- 4 B = - 5$

$A = 1 - B$

$- 4 B = - 5$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.3.3.3

将 $- 4 B = - 5$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 1.3.3.3.1

将 $- 4 B = - 5$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.3.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.3.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 4}$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{4}$

$A = 1 - B$

解题步骤 1.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $\frac{5}{4}$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 $\frac{5}{4}$ 替换 $A = 1 - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 1 - (\frac{5}{4})$

$B = \frac{5}{4}$

解题步骤 1.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

化简 $1 - (\frac{5}{4})$ 。

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解题步骤 1.3.4.2.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$A = \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

解题步骤 1.3.4.2.1.2

在公分母上合并分子。

$A = \frac{4 - 5}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

解题步骤 1.3.4.2.1.3

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$A = \frac{- 1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

解题步骤 1.3.4.2.1.4

将负号移到分数的前面。

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{5}{4}$

解题步骤 1.3.5

列出所有解。

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{5}{4}$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{y - 1} + \frac{B}{y + 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{- \frac{1}{4}}{y - 1} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y - 1} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

解题步骤 1.5.2

将 $\frac{1}{y - 1}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{(y - 1) \cdot 4} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

解题步骤 1.5.3

将 $4$ 移到 $y - 1$ 的左侧。

$- \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{\frac{5}{4}}{y + 3}$

解题步骤 1.5.4

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{y + 3}$

解题步骤 1.5.5

将 $\frac{5}{4}$ 乘以 $\frac{1}{y + 3}$ 。

$\int - \frac{1}{4 (y - 1)} + \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - \frac{1}{4 (y - 1)} d y + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{4 (y - 1)} d y + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{y - 1} d y) + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

解题步骤 5

使 $u_{1} = y - 1$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{1} = y - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $y - 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 5.1.4

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

解题步骤 6

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{5}{4 (y + 3)} d y$

解题步骤 7

由于 $\frac{5}{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{5}{4}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{y + 3} d y$

解题步骤 8

使 $u_{2} = y + 3$ 。然后使 $d u_{2} = d y$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{2} = y + 3$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d y}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $y + 3$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $y + 3$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

解题步骤 8.1.4

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 8.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 9

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{5}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

解题步骤 10

化简。

$- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{5}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 11.1

使用 $y - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + \frac{5}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 11.2

使用 $y + 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{4} \ln (| y - 1 |) + \frac{5}{4} \ln (| y + 3 |) + C$

微积分学 示例

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