微积分学示例

$\int \frac{y + 3}{{(3 - y)}^{\frac{2}{3}}} d y$

解题步骤 1

使 $u = 3 - y$ 。然后使 $d u = - d y$ ，以便 $- d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 3 - y$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $3 - y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [3 - y]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $3 - y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$ 。

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- y]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$0 - \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- (- u + 3) - 3}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $u^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (- (- u + 3) - 3) {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.2

将 ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.2.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

解题步骤 2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{\frac{- 2}{3}} d u$

解题步骤 2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\int (- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 3

展开 $(- (- u + 3) - 3) u^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int (- - u - 1 \cdot 3 - 3) u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\int (- - u - 1 \cdot 3) u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\int - - u u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 3.4

移动括号。

$\int - - 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 3.6

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$\int u \cdot u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 3.7

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{- \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 3.9

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int u^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 3.10

在公分母上合并分子。

$\int u^{\frac{3 - 2}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 3.11

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\int u^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 3.12

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\int u^{\frac{1}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} - 3 u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 3.13

从 $- 3 u^{- \frac{2}{3}}$ 中减去 $3 u^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\int u^{\frac{1}{3}} - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C + \int - 6 u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 6

由于 $- 6$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 6$ 移到积分外。

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{- \frac{2}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $3 u^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C - 6 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 6 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

解题步骤 8.2

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} - 18 u^{\frac{1}{3}} + C$

解题步骤 9

使用 $3 - y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{4} {(3 - y)}^{\frac{4}{3}} - 18 {(3 - y)}^{\frac{1}{3}} + C$

微积分学 示例

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