微积分学示例

$\int x^{2} \cos (7 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = \cos (7 x)$ 。

$x^{2} (\frac{1}{7} \sin (7 x)) - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $\sin (7 x)$ 。

$x^{2} \frac{\sin (7 x)}{7} - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{\sin (7 x)}{7}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \int \frac{1}{7} \sin (7 x) (2 x) d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{7} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{7} \cdot 2$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - (\frac{1}{7} \cdot 2 \int \sin (7 x) (x) d x)$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $2$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} \int \sin (7 x) (x) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (7 x)$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (x (- \frac{1}{7} \cos (7 x)) - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\cos (7 x)$ 和 $\frac{1}{7}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (x (- \frac{\cos (7 x)}{7}) - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

解题步骤 6.2

组合 $x$ 和 $\frac{\cos (7 x)}{7}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - \int - \frac{1}{7} \cos (7 x) d x)$

解题步骤 6.3

组合 $\cos (7 x)$ 和 $\frac{1}{7}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - \int - \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} - - \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + 1 \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

解题步骤 8.2

将 $\int \frac{\cos (7 x)}{7} d x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \int \frac{\cos (7 x)}{7} d x)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{7}$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \cos (7 x) d x)$

解题步骤 10

使 $u = 7 x$ 。然后使 $d u = 7 d x$ ，以便 $\frac{1}{7} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u = 7 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $7 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 10.1.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$7$

解题步骤 10.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \cos (u) \frac{1}{7} d u)$

解题步骤 11

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{7}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} \int \frac{\cos (u)}{7} d u)$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{7}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{7}$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7} (\frac{1}{7} \int \cos (u) d u))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $\frac{1}{7}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{7 \cdot 7} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 13.2

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 14

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} (\sin (u) + C))$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

将 $\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{1}{49} (\sin (u) + C))$ 重写为 $\frac{1}{7} x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$ 。

$\frac{1}{7} x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

解题步骤 15.2

化简。

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解题步骤 15.2.1

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2}}{7} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

解题步骤 15.2.2

组合 $\frac{x^{2}}{7}$ 和 $\sin (7 x)$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{1}{7} x \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

解题步骤 15.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{1}{7}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{x}{7} \cos (7 x) + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

解题步骤 15.2.4

组合 $\cos (7 x)$ 和 $\frac{x}{7}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{1}{49} \sin (u)) + C$

解题步骤 15.2.5

组合 $\frac{1}{49}$ 和 $\sin (u)$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) + C$

解题步骤 15.2.6

要将 $- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot \frac{7}{7} + C$

解题步骤 15.2.7

组合 $- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x)}{7} + \frac{- \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot 7}{7} + C$

解题步骤 15.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - \frac{2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49}) \cdot 7}{7} + C$

解题步骤 15.2.9

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 7 (\frac{2}{7}) (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

解题步骤 15.2.10

组合 $- 7$ 和 $\frac{2}{7}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 7 \cdot 2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

解题步骤 15.2.11

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 14}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

解题步骤 15.2.12

约去 $- 14$ 和 $7$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.12.1

从 $- 14$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

解题步骤 15.2.12.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.12.2.1

从 $7$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7 (1)} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

解题步骤 15.2.12.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{7 \cdot - 2}{7 \cdot 1} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

解题步骤 15.2.12.2.3

重写表达式。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{- 2}{1} (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

解题步骤 15.2.12.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (u)}{49})}{7} + C$

解题步骤 16

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{\cos (7 x) x}{7} + \frac{\sin (7 x)}{49})}{7} + C$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

将 $\frac{\cos (7 x) x}{7}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7} + \frac{\sin (7 x)}{49})}{7} + C$

解题步骤 17.2

化简分子。

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解题步骤 17.2.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) - 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7}) - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

解题步骤 17.2.2

乘以 $- 2 (- \frac{x \cos (7 x)}{7})$ 。

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解题步骤 17.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + 2 \frac{x \cos (7 x)}{7} - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

解题步骤 17.2.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{x \cos (7 x)}{7}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 (x \cos (7 x))}{7} - 2 \frac{\sin (7 x)}{49}}{7} + C$

解题步骤 17.2.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{\sin (7 x)}{49}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 (x \cos (7 x))}{7} + \frac{- 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

解题步骤 17.2.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{2} \sin (7 x) + \frac{2 x \cos (7 x)}{7} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

解题步骤 17.2.5

要将 $x^{2} \sin (7 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{49}{49}$ 。

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + x^{2} \sin (7 x) \cdot \frac{49}{49} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

解题步骤 17.2.6

组合 $x^{2} \sin (7 x)$ 和 $\frac{49}{49}$ 。

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49}{49} - \frac{2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

解题步骤 17.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

解题步骤 17.2.8

要将 $\frac{2 x \cos (7 x)}{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x)}{7} \cdot \frac{7}{7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

解题步骤 17.2.9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $49$ 的形式。

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解题步骤 17.2.9.1

将 $\frac{2 x \cos (7 x)}{7}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7}{7 \cdot 7} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

解题步骤 17.2.9.2

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7}{49} + \frac{x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

解题步骤 17.2.10

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7 + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

解题步骤 17.2.11

以因式分解的形式重写 $\frac{2 x \cos (7 x) \cdot 7 + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}$ 。

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解题步骤 17.2.11.1

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{14 x \cos (7 x) + x^{2} \sin (7 x) \cdot 49 - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

解题步骤 17.2.11.2

将 $49$ 移到 $x^{2} \sin (7 x)$ 的左侧。

$\frac{\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49}}{7} + C$

解题步骤 17.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49} \cdot \frac{1}{7} + C$

解题步骤 17.4

乘以 $\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49} \cdot \frac{1}{7}$ 。

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解题步骤 17.4.1

将 $\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49}$ 乘以 $\frac{1}{7}$ 。

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{49 \cdot 7} + C$

解题步骤 17.4.2

将 $49$ 乘以 $7$ 。

$\frac{14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)}{343} + C$

解题步骤 17.5

重新排序项。

$\frac{1}{343} (14 x \cos (7 x) + 49 x^{2} \sin (7 x) - 2 \sin (7 x)) + C$

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