微积分学示例

$x \sqrt{4 - x^{2}}$

解题步骤 1

将 $x \sqrt{4 - x^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 - x^{2}}$ 重写成 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 4 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - x^{2}$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.3

使用 $4 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.8

合并分数。

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解题步骤 2.8.1

将负号移到分数的前面。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.8.4

组合 $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.9

根据加法法则， $4 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.10

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.14

合并分数。

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解题步骤 2.14.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.14.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.14.3

组合 $\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.19

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.20

约去公因数。

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解题步骤 2.20.1

从 $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.20.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.20.3

重写表达式。

$\frac{- x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.21

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.22

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 2.23

将 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.24

要将 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.25

在公分母上合并分子。

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.26

通过指数相加将 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.26.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.26.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.26.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.26.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{1}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.27

化简 ${(4 - x^{2})}^{1}$ 。

$\frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.28

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.29

重新排序项。

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - 2 x^{2} + 4$ 且 $g (x) = {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.3

化简。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $- 2 x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.4.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.4.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.4.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.4.6

将 $- 4 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = - x^{2} + 4$ 。

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解题步骤 3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2} + 4$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.5.3

使用 $- x^{2} + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.9

化简分子。

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解题步骤 3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.10

合并分数。

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解题步骤 3.10.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.11

根据加法法则， $- x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.14

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.15

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.16

化简项。

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解题步骤 3.16.1

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.16.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.16.3

组合 $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.16.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.17

约去公因数。

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解题步骤 3.17.1

从 $2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.17.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.17.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.18

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.19

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.20

将 $- 2 x^{2} + 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21

化简。

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解题步骤 3.21.1

化简分子。

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解题步骤 3.21.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.2

将 $- 2 x^{2} + 4$ 乘以 $\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.3

从 $- 2 x^{2} + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.21.1.3.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (2)) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.3.3

从 $2 (- x^{2}) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.4

要将 $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.5

组合 $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ 和 $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.6

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.7

以因式分解的形式重写 $\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 3.21.1.7.1

从 $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 3.21.1.7.1.1

从 $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.7.1.2

从 $2 (- x^{2} + 2) x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.7.1.3

从 $2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.7.2

合并指数。

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解题步骤 3.21.1.7.2.1

通过指数相加将 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.21.1.7.2.1.1

移动 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.7.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.7.2.1.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.7.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.7.2.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.7.2.2

化简 $- 2 {(- x^{2} + 4)}^{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.8

化简分子。

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解题步骤 3.21.1.8.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.8.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.8.3

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 8 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.8.4

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 8 + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.1.8.5

将 $- 8$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.2

合并项。

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解题步骤 3.21.2.1

将 $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 3.21.2.2

将 $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{- x^{2} + 4}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

解题步骤 3.21.2.3

通过指数相加将 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- x^{2} + 4$ 。

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解题步骤 3.21.2.3.1

将 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- x^{2} + 4$ 。

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解题步骤 3.21.2.3.1.1

对 $- x^{2} + 4$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

解题步骤 3.21.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 3.21.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.21.2.3.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 3.21.2.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 - x^{2}}$ 重写成 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5.1.2

$x \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 4 - x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - x^{2}$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3.3

使用 $4 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.6

在公分母上合并分子。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.7

化简分子。

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解题步骤 5.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.8

合并分数。

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解题步骤 5.1.8.1

将负号移到分数的前面。

$x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.8.4

组合 $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.9

根据加法法则， $4 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.10

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.14

合并分数。

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解题步骤 5.1.14.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.14.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.14.3

组合 $\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.19

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.20

约去公因数。

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解题步骤 5.1.20.1

从 $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.20.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.20.3

重写表达式。

$\frac{- x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.21

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.22

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 5.1.23

将 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.1.24

要将 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.25

在公分母上合并分子。

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.26

通过指数相加将 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1.26.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.26.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.26.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.26.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{1}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.27

化简 ${(4 - x^{2})}^{1}$ 。

$\frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.28

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.29

重新排序项。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.2

将分子设为等于零。

$- 2 x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.3.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- 2 x^{2} = - 4$

解题步骤 6.3.2

将 $- 2 x^{2} = - 4$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $- 2 x^{2} = - 4$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 4}{- 2}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 2$ 。

$x^{2} = 2$

解题步骤 6.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 6.3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 6.3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2}$

解题步骤 6.3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 7.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{\sqrt{{(- x^{2} + 4)}^{1}}}$

解题步骤 7.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{- 2 x^{2} + 4}{\sqrt{- x^{2} + 4}}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{- 2 x^{2} + 4}{\sqrt{- x^{2} + 4}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{- x^{2} + 4} = 0$

解题步骤 7.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{- x^{2} + 4}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 7.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- x^{2} + 4}$ 重写成 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 7.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.2.2.1

化简 ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.2.2.1.1

将 ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 7.3.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 7.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(- x^{2} + 4)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 7.3.2.2.1.2

化简。

$- x^{2} + 4 = 0^{2}$

解题步骤 7.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 7.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.3.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- x^{2} = - 4$

解题步骤 7.3.3.2

将 $- x^{2} = - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.3.3.2.1

将 $- x^{2} = - 4$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 7.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 7.3.3.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 7.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.3.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 4$

解题步骤 7.3.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 7.3.3.4

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 7.3.3.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 7.3.3.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 2$

解题步骤 7.3.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.3.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2$

解题步骤 7.3.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2$

解题步骤 7.3.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2, - 2$

解题步骤 7.4

将 $\sqrt{- x^{2} + 4}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$- x^{2} + 4 < 0$

解题步骤 7.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.5.1

从不等式两边同时减去 $4$ 。

$- x^{2} < - 4$

解题步骤 7.5.2

将 $- x^{2} < - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.5.2.1

将 $- x^{2} < - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 7.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 7.5.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} > \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 7.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.5.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} > 4$

解题步骤 7.5.3

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{4}$

解题步骤 7.5.4

化简方程。

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解题步骤 7.5.4.1

化简左边。

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解题步骤 7.5.4.1.1

从根式下提出各项。

$| x | > \sqrt{4}$

解题步骤 7.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 7.5.4.2.1

化简 $\sqrt{4}$ 。

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解题步骤 7.5.4.2.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| x | > \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 7.5.4.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | > | 2 |$

解题步骤 7.5.4.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$| x | > 2$

解题步骤 7.5.5

将 $| x | > 2$ 书写为分段式。

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解题步骤 7.5.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 7.5.5.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x > 2$

解题步骤 7.5.5.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 7.5.5.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x > 2$

解题步骤 7.5.5.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x > 2 & x \geq 0 \\ - x > 2 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 7.5.6

求 $x > 2$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$x > 2$

解题步骤 7.5.7

将 $- x > 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.5.7.1

将 $- x > 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} < \frac{2}{- 1}$

解题步骤 7.5.7.2

化简左边。

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解题步骤 7.5.7.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} < \frac{2}{- 1}$

解题步骤 7.5.7.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{2}{- 1}$

解题步骤 7.5.7.3

化简右边。

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解题步骤 7.5.7.3.1

用 $2$ 除以 $- 1$ 。

$x < - 2$

解题步骤 7.5.8

求解的并集。

$x < - 2$ 或 $x > 2$

解题步骤 7.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq - 2, x \geq 2$

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

$x \leq - 2, x \geq 2$

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - 2, 2$

解题步骤 9

计算在 $x = \sqrt{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{2 (\sqrt{2}) ({(\sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {(\sqrt{2})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 10.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} (2^{\frac{2}{2}} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{2} (2^{\frac{2}{2}} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{2} (2^{1} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.1.1.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{2} (2 - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.1.2

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} \cdot - 4}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.1.3

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 10.2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.2.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.2.1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2^{1} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.2.1.1.5

计算指数。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 1 \cdot 2 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{{(- 2 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.2.2

将 $- 2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 8 \sqrt{2}}{2^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8 \sqrt{2}}{2^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \sqrt{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \sqrt{2}$ 是一个极大值

解题步骤 12

求 $x = \sqrt{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $\sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) \sqrt{4 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - {(\sqrt{2})}^{2})}$

解题步骤 12.2.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 12.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 12.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

解题步骤 12.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 12.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.2.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 12.2.2.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2)}$

解题步骤 12.2.2.5

计算指数。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 12.2.3

化简表达式。

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解题步骤 12.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (4 - 2)}$

解题步骤 12.2.3.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 \cdot 2}$

解题步骤 12.2.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4}$

解题步骤 12.2.3.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 12.2.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\sqrt{2}) = 2$

解题步骤 12.2.5

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 13

计算在 $x = - \sqrt{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{2 (- \sqrt{2}) ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {(- \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {(- \sqrt{2})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.2

化简分母。

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解题步骤 14.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.2.1.1

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 14.2.1.2.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.2.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 14.2.1.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {\sqrt{2}}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 14.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2^{\frac{2}{2}} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2^{1} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.4.5

计算指数。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 1 \cdot 2 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{{(- 2 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.2.2

将 $- 2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.3

化简分子。

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解题步骤 14.3.1

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.3.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 2 \sqrt{2} (1 {\sqrt{2}}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.3.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({\sqrt{2}}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.3.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 14.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.3.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.3.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2^{\frac{2}{2}} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.3.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.4.4.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2^{\frac{2}{2}} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.3.4.4.2

重写表达式。

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2^{1} - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.3.4.5

计算指数。

$\frac{- 2 \sqrt{2} (2 - 6)}{2^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.3.5

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2} \cdot - 4}{2^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 14.3.6

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{8 \sqrt{2}}{2^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \sqrt{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \sqrt{2}$ 是一个极小值

解题步骤 16

求 $x = - \sqrt{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $- \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) \sqrt{4 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

解题步骤 16.2.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 16.2.2.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

解题步骤 16.2.2.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 16.2.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

解题步骤 16.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 16.2.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 16.2.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 16.2.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 16.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 16.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 16.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 16.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.4.4.1

约去公因数。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 16.2.4.4.2

重写表达式。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2}$

解题步骤 16.2.4.5

计算指数。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 16.2.5

化简表达式。

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解题步骤 16.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{4 - 2}$

解题步骤 16.2.5.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2}$

解题步骤 16.2.6

乘以 $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 16.2.6.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2}) = - (\sqrt{2} \sqrt{2})$

解题步骤 16.2.6.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2}) = - (\sqrt{2} \sqrt{2})$

解题步骤 16.2.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

解题步骤 16.2.6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{2}$

解题步骤 16.2.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 16.2.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 16.2.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 16.2.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 16.2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.7.4.1

约去公因数。

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 16.2.7.4.2

重写表达式。

$f (- \sqrt{2}) = - 2$

解题步骤 16.2.7.5

计算指数。

$f (- \sqrt{2}) = - 1 \cdot 2$

解题步骤 16.2.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - 2$

解题步骤 16.2.9

最终答案为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 17

计算在 $x = - 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{{(- {(- 2)}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18

计算二阶导数。

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解题步骤 18.1

化简每一项。

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解题步骤 18.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{{(- 1 \cdot 4 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{{(- 4 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 18.2.1

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18.2.2

化简表达式。

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解题步骤 18.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 18.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.3.1

约去公因数。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 18.2.3.2

重写表达式。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0^{3}}$

解题步骤 18.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0}$

解题步骤 18.2.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 6)}{0}$

解题步骤 18.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 19

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 20

微积分学 示例

微积分学示例