微积分学示例

$\int \frac{x}{2 x - 1} d x$

解题步骤 1

用 $x$ 除以 $2 x - 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$1$

$x$

$0$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$\frac{1}{2}$
	$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{1}{2}$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x - \frac{1}{2}$ 中的所有符号

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{1}{2}$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{1}{2}$
$2 x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{1}{2}$
					+	$\frac{1}{2}$

解题步骤 1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int \frac{1}{2} + \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

解题步骤 5

使 $u = 2 x - 1$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 2 x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $2 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 6.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} x + C + \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 10

化简。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

解题步骤 11

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| 2 x - 1 |) + C$

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