微积分学示例

$\int \sqrt[3]{x} \ln (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = \sqrt[3]{x}$ 。

$\ln (x) (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\ln (x) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ 。

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{3}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{4}$ 移到积分外。

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $x^{\frac{4}{3}}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int \frac{x^{\frac{4}{3}}}{x} d x)$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{1}$ 移动到分子。

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3}} x^{- 1} d x)$

解题步骤 4.3

通过指数相加将 $x^{\frac{4}{3}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3} - 1} d x)$

解题步骤 4.3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} d x)$

解题步骤 4.3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} d x)$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} d x)$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4 - 3}{3}} d x)$

解题步骤 4.3.5.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{1}{3}} d x)$

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} \int x^{\frac{1}{3}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C)$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{\ln (x) (3 x^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C)$ 重写为 $\frac{3}{4} \ln (x) x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$ 。

$\frac{3}{4} \ln (x) x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{3 \ln (x)}{4} x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 6.2.2

组合 $\frac{3 \ln (x)}{4}$ 和 $x^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{3 \ln (x) x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 6.2.3

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{3 \ln (x) x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 6.2.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 \ln (x) x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{4 \cdot 4} x^{\frac{4}{3}} + C$

解题步骤 6.2.5

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3 \ln (x) x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{9}{16} x^{\frac{4}{3}} + C$

$\frac{3}{4} \ln (x) x^{\frac{4}{3}} - \frac{9}{16} x^{\frac{4}{3}} + C$

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