微积分学示例

$f (x) = \frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$ 无定义。

$x = - 4, x = - 1$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 1$ 时， $\frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 1$ 时， $\frac{3 x^{3} - x^{2} - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - 1$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 1$

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.1.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(3 x^{3} - x^{2}) - 48 x + 16}{x^{2} + 5 x + 4}$

解题步骤 6.1.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x^{2} (3 x - 1) - 16 (3 x - 1)}{x^{2} + 5 x + 4}$

解题步骤 6.1.1.2

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(3 x - 1) (x^{2} - 16)}{x^{2} + 5 x + 4}$

解题步骤 6.1.1.3

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{(3 x - 1) (x^{2} - 4^{2})}{x^{2} + 5 x + 4}$

解题步骤 6.1.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$\frac{(3 x - 1) (x + 4) (x - 4)}{x^{2} + 5 x + 4}$

解题步骤 6.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 5 x + 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $4$ ，和为 $5$ 。

$1, 4$

解题步骤 6.1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(3 x - 1) (x + 4) (x - 4)}{(x + 1) (x + 4)}$

解题步骤 6.1.3

约去 $x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.1

约去公因数。

$\frac{(3 x - 1) (x + 4) (x - 4)}{(x + 1) (x + 4)}$

解题步骤 6.1.3.2

重写表达式。

$\frac{(3 x - 1) (x - 4)}{x + 1}$

解题步骤 6.2

展开 $(3 x - 1) (x - 4)$ 。

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解题步骤 6.2.1

运用分配律。

$\frac{3 x (x - 4) - 1 (x - 4)}{x + 1}$

解题步骤 6.2.2

运用分配律。

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 - 1 (x - 4)}{x + 1}$

解题步骤 6.2.3

运用分配律。

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

解题步骤 6.2.4

移动 $x$ 。

$\frac{3 x \cdot x + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

解题步骤 6.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

解题步骤 6.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

解题步骤 6.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{1 + 1} + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

解题步骤 6.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot (- 4 x) - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

解题步骤 6.2.9

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{3 x^{2} - 12 x - 1 x - 1 \cdot - 4}{x + 1}$

解题步骤 6.2.10

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{3 x^{2} - 12 x - 1 x + 4}{x + 1}$

解题步骤 6.2.11

从 $- 12 x$ 中减去 $1 x$ 。

$\frac{3 x^{2} - 13 x + 4}{x + 1}$

解题步骤 6.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$3 x^{2}$

$13 x$

$4$

解题步骤 6.4

将被除数中的最高阶项 $3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$3 x$
	$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$

解题步骤 6.5

将新的商式项乘以除数。

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 6.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{2} + 3 x$ 中的所有符号

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 6.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$

解题步骤 6.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$

解题步骤 6.9

将被除数中的最高阶项 $- 16 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$3 x$	-	$16$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$

解题步骤 6.10

将新的商式项乘以除数。

				$3 x$	-	$16$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$
					-	$16 x$	-	$16$

解题步骤 6.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 16 x - 16$ 中的所有符号

				$3 x$	-	$16$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$
					+	$16 x$	+	$16$

解题步骤 6.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x$	-	$16$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	-	$13 x$	+	$4$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$16 x$	+	$4$
					+	$16 x$	+	$16$
							+	$20$

解题步骤 6.13

最终答案为商加上余数除以除数。

$3 x - 16 + \frac{20}{x + 1}$

解题步骤 6.14

将解分解成多项式部分和余项。

$3 x - 16 + \frac{20 x + 80}{x^{2} + 5 x + 4}$

解题步骤 6.15

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = 3 x - 16$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 1$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = 3 x - 16$

解题步骤 8

微积分学 示例

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