微积分学示例

$\int_{\sqrt{x}}^{2 x} \arctan (t) d t$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \arctan (t)$ ， $d v = 1$ 。

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

解题步骤 2

组合 $t$ 和 $\frac{1}{t^{2} + 1}$ 。

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{\sqrt{x}}^{2 x} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

解题步骤 3

使 $u = t^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 t d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = t d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = t^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $t^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $t^{2} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 3.1.4

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 t + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $2 t$ 和 $0$ 相加。

$2 t$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = t^{2} + 1$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = {\sqrt{x}}^{2} + 1$

解题步骤 3.3

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$u_{lower} = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

解题步骤 3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{lower} = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

解题步骤 3.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

解题步骤 3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.4.1

约去公因数。

$u_{lower} = x^{\frac{2}{2}} + 1$

解题步骤 3.3.4.2

重写表达式。

$u_{lower} = x^{1} + 1$

解题步骤 3.3.5

化简。

$u_{lower} = x + 1$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = t^{2} + 1$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = {(2 x)}^{2} + 1$

解题步骤 3.5

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$u_{upper} = 2^{2} x^{2} + 1$

解题步骤 3.5.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = x + 1$

$u_{upper} = 4 x^{2} + 1$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 4.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - (\frac{1}{2} \int_{x + 1}^{4 x^{2} + 1} \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\arctan (t) t]_{\sqrt{x}}^{2 x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\arctan (t) t$ 在 $2 x$ 处和在 $\sqrt{x}$ 处的值。

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{x + 1}^{4 x^{2} + 1}$

解题步骤 7.2

计算 $\ln (| u |)$ 在 $4 x^{2} + 1$ 处和在 $x + 1$ 处的值。

$(\arctan (2 x) (2 x)) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} ((\ln (| 4 x^{2} + 1 |)) - \ln (| x + 1 |))$

解题步骤 7.3

去掉圆括号。

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} (\ln (| 4 x^{2} + 1 |) - \ln (| x + 1 |))$

解题步骤 8

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\arctan (2 x) (2 x) - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$

解题步骤 9.1.2

组合 $\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \arctan (2 x) x - \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

解题步骤 9.2

要将 $2 \arctan (2 x) x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + 2 \arctan (2 x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

解题步骤 9.3

组合 $2 \arctan (2 x) x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

解题步骤 9.4

在公分母上合并分子。

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{2 \arctan (2 x) x \cdot 2 - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

解题步骤 9.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \arctan (\sqrt{x}) \sqrt{x} + \frac{4 \arctan (2 x) x - \ln (\frac{| 4 x^{2} + 1 |}{| x + 1 |})}{2}$

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