微积分学示例

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

从 $\cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} d x$

解题步骤 1.2

分离分数。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

解题步骤 1.3

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

解题步骤 1.4

将 $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ 重写为乘积形式。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

解题步骤 1.5.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 1.6

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 1.7

将 $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 。

$\int {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} (\tan (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 1.8

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 1.9

通过指数相加将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 1.9.1

移动 $\sec (x)$ 。

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.9.2

将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 1.9.2.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 1.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

解题步骤 1.9.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 2

使 $u = \sec (x)$ 。然后使 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \sec (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\sec (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{2} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

解题步骤 4

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} \sec^{3} (x) + C$

微积分学 示例

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