微积分学示例

$\int t^{2} \sin (B t) d t$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t^{2}$ ， $d v = \sin (B t)$ 。

$t^{2} (- \frac{\cos (B t)}{B}) - \int - \frac{\cos (B t)}{B} (2 t) d t$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $t^{2}$ 和 $\frac{\cos (B t)}{B}$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - \frac{\cos (B t)}{B} (2 t) d t$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - 2 \frac{\cos (B t)}{B} t d t$

解题步骤 2.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{\cos (B t)}{B}$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int \frac{- 2 \cos (B t)}{B} t d t$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{- 2 \cos (B t)}{B}$ 和 $t$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int \frac{- 2 \cos (B t) t}{B} d t$

解题步骤 2.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - \int - \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} - - \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + 1 \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

解题步骤 4.2

将 $\int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \int \frac{2 \cos (B t) t}{B} d t$

解题步骤 5

由于 $\frac{2}{B}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{2}{B}$ 移到积分外。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} \int \cos (B t) t d t$

解题步骤 6

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t$ ， $d v = \cos (B t)$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (t \frac{\sin (B t)}{B} - \int \frac{\sin (B t)}{B} d t)$

解题步骤 7

组合 $t$ 和 $\frac{\sin (B t)}{B}$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \int \frac{\sin (B t)}{B} d t)$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{B}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{B}$ 移到积分外。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - (\frac{1}{B} \int \sin (B t) d t))$

解题步骤 9

使 $u = B t$ 。然后使 $d u = B d t$ ，以便 $\frac{1}{B} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = B t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $B t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [B t]$

解题步骤 9.1.2

因为 $B$ 对于 $t$ 是常数，所以 $B t$ 对 $t$ 的导数是 $B \frac{d}{d t} [t]$ 。

$B \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$B \cdot 1$

解题步骤 9.1.4

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$B$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} \int \sin (u) \frac{1}{B} d u)$

解题步骤 10

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{B}$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} \int \frac{\sin (u)}{B} d u)$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{B}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{B}$ 移到积分外。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B} (\frac{1}{B} \int \sin (u) d u))$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

将 $\frac{1}{B}$ 乘以 $\frac{1}{B}$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B \cdot B} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 12.2

对 $B$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1} B} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 12.3

对 $B$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1} B^{1}} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 12.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{1 + 1}} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 12.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 13

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} (- \cos (u) + C))$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

将 $- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} - \frac{1}{B^{2}} (- \cos (u) + C))$ 重写为 $- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) + C$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) + C$

解题步骤 14.2

化简。

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解题步骤 14.2.1

要将 $\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{B}{B}$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) \cdot \frac{B}{B} + C$

解题步骤 14.2.2

组合 $\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})$ 和 $\frac{B}{B}$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (B t)}{B} + \frac{\frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) B}{B} + C$

解题步骤 14.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}}) B}{B} + C$

解题步骤 14.2.4

组合 $B$ 和 $\frac{2}{B}$ 。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{B \cdot 2}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

解题步骤 14.2.5

将 $2$ 移到 $B$ 的左侧。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 \cdot B}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

解题步骤 14.2.6

约去 $B$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.6.1

约去公因数。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 B}{B} (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

解题步骤 14.2.6.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (u)}{B^{2}})}{B} + C$

解题步骤 15

使用 $B t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 (\frac{t \sin (B t)}{B} + \frac{\cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

化简分子。

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解题步骤 16.1.1

运用分配律。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + 2 \frac{t \sin (B t)}{B} + 2 \frac{\cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

解题步骤 16.1.2

组合 $2$ 和 $\frac{t \sin (B t)}{B}$ 。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 (t \sin (B t))}{B} + 2 \frac{\cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

解题步骤 16.1.3

组合 $2$ 和 $\frac{\cos (B t)}{B^{2}}$ 。

$\frac{- t^{2} \cos (B t) + \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

解题步骤 16.2

从 $- t^{2} \cos (B t)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (t^{2} \cos (B t)) + \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

解题步骤 16.3

从 $\frac{2 t \sin (B t)}{B}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (t^{2} \cos (B t)) - \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

解题步骤 16.4

从 $- (t^{2} \cos (B t)) - \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) + \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

解题步骤 16.5

从 $\frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) - \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

解题步骤 16.6

从 $- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B}) - \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

解题步骤 16.7

将 $- (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})$ 重写为 $- 1 (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})$ 。

$\frac{- 1 (t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}})}{B} + C$

解题步骤 16.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{t^{2} \cos (B t) + \frac{- 2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

解题步骤 16.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{t^{2} \cos (B t) - \frac{2 t \sin (B t)}{B} + \frac{- 2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

解题步骤 16.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{t^{2} \cos (B t) - \frac{2 t \sin (B t)}{B} - \frac{2 \cos (B t)}{B^{2}}}{B} + C$

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