微积分学示例

$\int \frac{t \sqrt{t} + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

解题步骤 1

从 $t \sqrt{t} + \sqrt{t}$ 中分解出因数 $\sqrt{t}$ 。

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解题步骤 1.1

从 $t \sqrt{t}$ 中分解出因数 $\sqrt{t}$ 。

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t}}{t^{2}} d t$

解题步骤 1.2

乘以 $1$ 。

$\int \frac{\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1}{t^{2}} d t$

解题步骤 1.3

从 $\sqrt{t} t + \sqrt{t} \cdot 1$ 中分解出因数 $\sqrt{t}$ 。

$\int \frac{\sqrt{t} (t + 1)}{t^{2}} d t$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

通过将 $t^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int \sqrt{t} (t + 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

将 ${(t^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

解题步骤 2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \sqrt{t} (t + 1) t^{- 2} d t$

解题步骤 2.2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int t^{\frac{1}{2}} (t + 1) t^{- 2} d t$

解题步骤 2.2.3

通过指数相加将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $t^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

移动 $t^{- 2}$ 。

$\int t^{- 2} t^{\frac{1}{2}} (t + 1) d t$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int t^{- 2 + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

解题步骤 2.2.3.3

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int t^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

解题步骤 2.2.3.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (t + 1) d t$

解题步骤 2.2.3.5

在公分母上合并分子。

$\int t^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (t + 1) d t$

解题步骤 2.2.3.6

化简分子。

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解题步骤 2.2.3.6.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\int t^{\frac{- 4 + 1}{2}} (t + 1) d t$

解题步骤 2.2.3.6.2

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$\int t^{\frac{- 3}{2}} (t + 1) d t$

解题步骤 2.2.3.7

将负号移到分数的前面。

$\int t^{- \frac{3}{2}} (t + 1) d t$

解题步骤 3

展开 $t^{- \frac{3}{2}} (t + 1)$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + t^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d t$

解题步骤 3.2

将 $t^{- \frac{3}{2}}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int t^{- \frac{3}{2}} t + 1 \cdot t^{- \frac{3}{2}} d t$

解题步骤 3.3

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int t^{- \frac{3}{2}} t^{1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int t^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

解题步骤 3.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int t^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$\int t^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

解题步骤 3.7

将 $- 3$ 和 $2$ 相加。

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + 1 t^{- \frac{3}{2}} d t$

解题步骤 3.8

将 $t^{- \frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\int t^{\frac{- 1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

解题步骤 4

将负号移到分数的前面。

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} d t$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

解题步骤 6

根据幂法则， $t^{- \frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

解题步骤 7

根据幂法则， $t^{- \frac{3}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 t^{\frac{1}{2}} + C - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 8.2.2

将负号移到分数的前面。

$2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

微积分学 示例

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