微积分学示例

$\int_{20}^{130} 42.07 e^{- 0.01059 t} d t$

解题步骤 1

由于 $42.07$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $42.07$ 移到积分外。

$42.07 \int_{20}^{130} e^{- 0.01059 t} d t$

解题步骤 2

使 $u = - 0.01059 t$ 。然后使 $d u = - 0.01059 d t$ ，以便 $\frac{1}{- 0.01059} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = - 0.01059 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $- 0.01059 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [- 0.01059 t]$

解题步骤 2.1.2

因为 $- 0.01059$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 0.01059 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 0.01059 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 0.01059 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 0.01059 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $- 0.01059$ 乘以 $1$ 。

$- 0.01059$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = - 0.01059 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = - 0.01059 \cdot 20$

解题步骤 2.3

将 $- 0.01059$ 乘以 $20$ 。

$u_{lower} = - 0.2118$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = - 0.01059 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = - 0.01059 \cdot 130$

解题步骤 2.5

将 $- 0.01059$ 乘以 $130$ 。

$u_{upper} = - 1.3767$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 0.2118$

$u_{upper} = - 1.3767$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$42.07 \int_{- 0.2118}^{- 1.3767} e^{u} \frac{1}{- 0.01059} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将负号移到分数的前面。

$42.07 \int_{- 0.2118}^{- 1.3767} e^{u} (- \frac{1}{0.01059}) d u$

解题步骤 3.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{0.01059}$ 。

$42.07 \int_{- 0.2118}^{- 1.3767} - \frac{e^{u}}{0.01059} d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$42.07 (- \int_{- 0.2118}^{- 1.3767} \frac{e^{u}}{0.01059} d u)$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $42.07$ 。

$- 42.07 \int_{- 0.2118}^{- 1.3767} \frac{e^{u}}{0.01059} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{0.01059}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{0.01059}$ 移到积分外。

$- 42.07 (\frac{1}{0.01059} \int_{- 0.2118}^{- 1.3767} e^{u} d u)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{0.01059}$ 和 $- 42.07$ 。

$\frac{- 42.07}{0.01059} \int_{- 0.2118}^{- 1.3767} e^{u} d u$

解题步骤 7.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{42.07}{0.01059} \int_{- 0.2118}^{- 1.3767} e^{u} d u$

解题步骤 8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{42.07}{0.01059} e^{u}]_{- 0.2118}^{- 1.3767}$

解题步骤 9

计算 $e^{u}$ 在 $- 1.3767$ 处和在 $- 0.2118$ 处的值。

$- \frac{42.07}{0.01059} (e^{- 1.3767} - e^{- 0.2118})$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

用 $42.07$ 除以 $0.01059$ 。

$- 1 \cdot 3972.61567516 (e^{- 1.3767} - e^{- 0.2118})$

解题步骤 10.2

将 $- 1$ 乘以 $3972.61567516$ 。

$- 3972.61567516 (e^{- 1.3767} - e^{- 0.2118})$

解题步骤 10.3

将 $- 3972.61567516$ 乘以 $e^{- 1.3767} - e^{- 0.2118}$ 。

$2211.62019019$

解题步骤 11

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