微积分学示例

$\int_{- 20}^{- 1} \frac{3}{e^{- z}} - \frac{1}{3 z} d z$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 20}^{- 1} \frac{3}{e^{- z}} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

解题步骤 2

由于 $3$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{e^{- z}} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将 $e^{- z}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 {(e^{- z})}^{- 1} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 ${(e^{- z})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{- z \cdot - 1} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

解题步骤 3.2.1.2

乘以 $- z \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{1 z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $z$ 乘以 $1$ 。

$3 \int_{- 20}^{- 1} 1 e^{z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

解题步骤 3.2.2

将 $e^{z}$ 乘以 $1$ 。

$3 \int_{- 20}^{- 1} e^{z} d z + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

解题步骤 4

$e^{z}$ 对 $z$ 的积分为 $e^{z}$ 。

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) + \int_{- 20}^{- 1} - \frac{1}{3 z} d z$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{3 z} d z$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - (\frac{1}{3} \int_{- 20}^{- 1} \frac{1}{z} d z)$

解题步骤 7

$\frac{1}{z}$ 对 $z$ 的积分为 $\ln (| z |)$ 。

$3 (e^{z}]_{- 20}^{- 1}) - \frac{1}{3} \ln (| z |)]_{- 20}^{- 1}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

代入并化简。

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解题步骤 8.1.1

计算 $e^{z}$ 在 $- 1$ 处和在 $- 20$ 处的值。

$3 ((e^{- 1}) - e^{- 20}) - \frac{1}{3} \ln (| z |)]_{- 20}^{- 1}$

解题步骤 8.1.2

计算 $\ln (| z |)$ 在 $- 1$ 处和在 $- 20$ 处的值。

$3 ((e^{- 1}) - e^{- 20}) - \frac{1}{3} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 20 |))$

解题步骤 8.1.3

去掉圆括号。

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{1}{3} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 20 |))$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{1}{3} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})$

解题步骤 8.2.2

组合 $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

解题步骤 8.2.3

要将 $3 (e^{- 1} - e^{- 20})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

解题步骤 8.2.4

组合 $3 (e^{- 1} - e^{- 20})$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot 3}{3} - \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

解题步骤 8.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (e^{- 1} - e^{- 20}) \cdot 3 - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

解题步骤 8.2.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9 (e^{- 1} - e^{- 20}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{9 (e^{- 1} - \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

解题步骤 8.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{9 (\frac{1}{e} - \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

解题步骤 8.3.3

运用分配律。

$\frac{9 \frac{1}{e} + 9 (- \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

解题步骤 8.3.4

组合 $9$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{\frac{9}{e} + 9 (- \frac{1}{e^{20}}) - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

解题步骤 8.3.5

乘以 $9 (- \frac{1}{e^{20}})$ 。

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解题步骤 8.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{\frac{9}{e} - 9 \frac{1}{e^{20}} - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

解题步骤 8.3.5.2

组合 $- 9$ 和 $\frac{1}{e^{20}}$ 。

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{| - 1 |}{| - 20 |})}{3}$

解题步骤 8.3.6

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 1$ 和 $0$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{| - 20 |})}{3}$

解题步骤 8.3.7

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 20$ 和 $0$ 之间的距离为 $20$ 。

$\frac{\frac{9}{e} + \frac{- 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

解题步骤 8.3.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{9}{e} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

解题步骤 8.3.9

化简分子。

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解题步骤 8.3.9.1

要将 $\frac{9}{e}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{19}}{e^{19}}$ 。

$\frac{\frac{9}{e} \cdot \frac{e^{19}}{e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

解题步骤 8.3.9.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $e^{20}$ 的形式。

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解题步骤 8.3.9.2.1

将 $\frac{9}{e}$ 乘以 $\frac{e^{19}}{e^{19}}$ 。

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

解题步骤 8.3.9.2.2

通过指数相加将 $e$ 乘以 $e^{19}$ 。

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解题步骤 8.3.9.2.2.1

将 $e$ 乘以 $e^{19}$ 。

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解题步骤 8.3.9.2.2.1.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{1} e^{19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

解题步骤 8.3.9.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{1 + 19}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

解题步骤 8.3.9.2.2.2

将 $1$ 和 $19$ 相加。

$\frac{\frac{9 e^{19}}{e^{20}} - \frac{9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

解题步骤 8.3.9.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20})}{3}$

解题步骤 8.3.9.4

要将 $- \ln (\frac{1}{20})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{20}}{e^{20}}$ 。

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} - \ln (\frac{1}{20}) \cdot \frac{e^{20}}{e^{20}}}{3}$

解题步骤 8.3.9.5

组合 $- \ln (\frac{1}{20})$ 和 $\frac{e^{20}}{e^{20}}$ 。

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9}{e^{20}} + \frac{- \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}}{3}$

解题步骤 8.3.9.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}}{3}$

解题步骤 8.3.10

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 8.3.11

将 $\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{e^{20} \cdot 3}$

解题步骤 8.3.12

将 $3$ 移到 $e^{20}$ 的左侧。

$\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{3 \cdot e^{20}}$

解题步骤 8.3.13

将 $\frac{9 e^{19} - 9 - \ln (\frac{1}{20}) e^{20}}{3 e^{20}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{9 e^{19} - 9 - e^{20} \ln (\frac{1}{20})}{3 e^{20}}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{9 e^{19} - 9 - e^{20} \ln (\frac{1}{20})}{3 e^{20}}$

小数形式：

$2.10221574 \dots$

解题步骤 10

微积分学 示例

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