微积分学示例

$f (x) = {(x + 3)}^{4}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 3$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.1.1.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 3)$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

解题步骤 1.1.1.2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)$

解题步骤 1.1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.2.4.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 {(x + 3)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{3})$

解题步骤 1.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 3$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

解题步骤 1.1.2.2.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 4 (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

解题步骤 1.1.2.3

求微分。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 ({(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3))$

解题步骤 1.1.2.3.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

解题步骤 1.1.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (3))$

解题步骤 1.1.2.3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)$

解题步骤 1.1.2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.3.5.2

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 {(x + 3)}^{2}$ 。

$12 {(x + 3)}^{2}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 {(x + 3)}^{2} = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $12 {(x + 3)}^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 {(x + 3)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 {(x + 3)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

用 ${(x + 3)}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(x + 3)}^{2} = \frac{0}{12}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

用 $0$ 除以 $12$ 。

${(x + 3)}^{2} = 0$

解题步骤 1.2.3

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 1.2.4

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - 3)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 6) = 12 {((- 6) + 3)}^{2}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 6$ 和 $3$ 相加。

$f'' (- 6) = 12 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 4.2.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 6) = 12 \cdot 9$

解题步骤 4.2.3

将 $12$ 乘以 $9$ 。

$f'' (- 6) = 108$

解题步骤 4.2.4

最终答案为 $108$ 。

$108$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - 3)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 6)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 3)$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(- 3, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 12 {((0) + 3)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$f'' (0) = 12 \cdot 3^{2}$

解题步骤 5.2.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0) = 12 \cdot 9$

解题步骤 5.2.3

将 $12$ 乘以 $9$ 。

$f'' (0) = 108$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $108$ 。

$108$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- 3, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 3, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 6

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 3)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 3, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

微积分学 示例

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