微积分学示例

$\int_{- 2}^{4} 2 + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} y^{2} d y$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 2}^{4} 2 d y + \int_{- 2}^{4} \frac{1}{2} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

解题步骤 2

应用常数不变法则。

$2 y]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} \frac{1}{2} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{4} y d y + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

解题步骤 4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} + \int_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

解题步骤 5

由于 $- \frac{1}{4}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{4}$ 移到积分外。

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{4} y^{2} d y$

解题步骤 6

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$2 y]_{- 2}^{4} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $2 y$ 在 $4$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$(2 \cdot 4) - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

解题步骤 7.2

计算 $\frac{1}{2} y^{2}$ 在 $4$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{4}$

解题步骤 7.3

计算 $\frac{1}{3} y^{3}$ 在 $4$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 - 2 \cdot - 2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$8 + 4 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.3

将 $8$ 和 $4$ 相加。

$12 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4^{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $16$ 。

$12 + \frac{1}{2} (\frac{16}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.6

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.6.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.6.2.2

约去公因数。

$12 + \frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.6.2.3

重写表达式。

$12 + \frac{1}{2} (\frac{8}{1} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.6.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$12 + \frac{1}{2} (8 - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.7

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 + \frac{1}{2} (8 - \frac{1}{2} \cdot 4) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.8

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$12 + \frac{1}{2} (8 - 4 (\frac{1}{2})) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.9

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{- 4}{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.10

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.10.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.10.2.2

约去公因数。

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.10.2.3

重写表达式。

$12 + \frac{1}{2} (8 + \frac{- 2}{1}) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.10.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$12 + \frac{1}{2} (8 - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.11

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$12 + \frac{1}{2} \cdot 6 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$12 + \frac{6}{2} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.13

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.13.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.13.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.13.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.13.2.2

约去公因数。

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.13.2.3

重写表达式。

$12 + \frac{3}{1} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.13.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$12 + 3 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.14

将 $12$ 和 $3$ 相加。

$15 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.15

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$15 - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.16

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $64$ 。

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

解题步骤 7.4.17

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8)$

解题步骤 7.4.18

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} + 8 (\frac{1}{3}))$

解题步骤 7.4.19

组合 $8$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$15 - \frac{1}{4} (\frac{64}{3} + \frac{8}{3})$

解题步骤 7.4.20

在公分母上合并分子。

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{64 + 8}{3}$

解题步骤 7.4.21

将 $64$ 和 $8$ 相加。

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{72}{3}$

解题步骤 7.4.22

约去 $72$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.22.1

从 $72$ 中分解出因数 $3$ 。

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3}$

解题步骤 7.4.22.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.22.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)}$

解题步骤 7.4.22.2.2

约去公因数。

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.22.2.3

重写表达式。

$15 - \frac{1}{4} \cdot \frac{24}{1}$

解题步骤 7.4.22.2.4

用 $24$ 除以 $1$ 。

$15 - \frac{1}{4} \cdot 24$

解题步骤 7.4.23

将 $24$ 乘以 $- 1$ 。

$15 - 24 (\frac{1}{4})$

解题步骤 7.4.24

组合 $- 24$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$15 + \frac{- 24}{4}$

解题步骤 7.4.25

约去 $- 24$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.25.1

从 $- 24$ 中分解出因数 $4$ 。

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4}$

解题步骤 7.4.25.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.25.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4 (1)}$

解题步骤 7.4.25.2.2

约去公因数。

$15 + \frac{4 \cdot - 6}{4 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.25.2.3

重写表达式。

$15 + \frac{- 6}{1}$

解题步骤 7.4.25.2.4

用 $- 6$ 除以 $1$ 。

$15 - 6$

解题步骤 7.4.26

从 $15$ 中减去 $6$ 。

$9$

解题步骤 8

微积分学 示例

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