微积分学示例

$\int - 15 x^{4} {(- 3 x^{5} - 1)}^{5} d x$

解题步骤 1

由于 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 15$ 移到积分外。

$- 15 \int x^{4} {(- 3 x^{5} - 1)}^{5} d x$

解题步骤 2

使 $u = - 3 x^{5} - 1$ 。然后使 $d u = - 15 x^{4} d x$ ，以便 $- \frac{1}{15} d u = x^{4} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = - 3 x^{5} - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $- 3 x^{5} - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5} - 1]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $- 3 x^{5} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 15 x^{4} + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $- 15 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$- 15 x^{4}$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- 15 \int u^{5} \frac{1}{- 15} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将负号移到分数的前面。

$- 15 \int u^{5} (- \frac{1}{15}) d u$

解题步骤 3.2

组合 $u^{5}$ 和 $\frac{1}{15}$ 。

$- 15 \int - \frac{u^{5}}{15} d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- 15 (- \int \frac{u^{5}}{15} d u)$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $- 15$ 。

$15 \int \frac{u^{5}}{15} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{15}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{15}$ 移到积分外。

$15 (\frac{1}{15} \int u^{5} d u)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{15}$ 和 $15$ 。

$\frac{15}{15} \int u^{5} d u$

解题步骤 7.2

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\frac{15}{15} \int u^{5} d u$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$1 \int u^{5} d u$

解题步骤 7.3

将 $\int u^{5} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{5} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{5}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{6} u^{6}$ 。

$\frac{1}{6} u^{6} + C$

解题步骤 9

使用 $- 3 x^{5} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{6} {(- 3 x^{5} - 1)}^{6} + C$

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