微积分学示例

$\int_{1}^{3} \frac{6 x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

解题步骤 1

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 x^{3} + 1} d x$

解题步骤 2

将 $x^{3}$ 重写为 ${(x^{3})}^{1}$ 。

$6 \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{8 {(x^{3})}^{1} + 1} d x$

解题步骤 3

使 $u_{1} = x^{3}$ 。然后使 $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{1} = x^{3}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2}$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u_{1} = x^{3}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1^{3}$

解题步骤 3.3

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u_{1} = x^{3}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3^{3}$

解题步骤 3.5

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$u_{upper} = 27$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 27$

解题步骤 3.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简。

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{8 u_{1} + 1}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{(8 u_{1} + 1) \cdot 3} d u_{1}$

解题步骤 4.3

将 $3$ 移到 $8 u_{1} + 1$ 的左侧。

$6 \int_{1}^{27} \frac{1}{3 (8 u_{1} + 1)} d u_{1}$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$6 (\frac{1}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $6$ 。

$\frac{6}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

解题步骤 6.2

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

解题步骤 6.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

解题步骤 6.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

解题步骤 6.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \int_{1}^{27} \frac{1}{8 u_{1} + 1} d u_{1}$

解题步骤 7

使 $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ 。然后使 $d u_{2} = 8 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{8} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $8 u_{1} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1} + 1]$

解题步骤 7.1.2

根据加法法则， $8 u_{1} + 1$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 7.1.3

计算 $\frac{d}{d u_{1}} [8 u_{1}]$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

因为 $8$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $8 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$8 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 7.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 7.1.3.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

解题步骤 7.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 7.1.4.1

因为 $1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $1$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $0$ 。

$8 + 0$

解题步骤 7.1.4.2

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$8$

解题步骤 7.2

将下限代入替换 $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = 8 \cdot 1 + 1$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = 8 + 1$

解题步骤 7.3.2

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 9$

解题步骤 7.4

将上限代入替换 $u_{2} = 8 u_{1} + 1$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = 8 \cdot 27 + 1$

解题步骤 7.5

化简。

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解题步骤 7.5.1

将 $8$ 乘以 $27$ 。

$u_{upper} = 216 + 1$

解题步骤 7.5.2

将 $216$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 217$

解题步骤 7.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 217$

解题步骤 7.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{8}$ 。

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

解题步骤 8.2

将 $8$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$2 \int_{9}^{217} \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{8}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 10

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 10.2

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{8} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 10.2.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 10.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 10.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} \int_{9}^{217} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 11

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |)]_{9}^{217}$

解题步骤 12

计算 $\ln (| u_{2} |)$ 在 $217$ 处和在 $9$ 处的值。

$\frac{1}{4} (\ln (| 217 |) - \ln (| 9 |))$

解题步骤 13

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解题步骤 13.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$

解题步骤 13.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})$ 。

$\frac{\ln (\frac{| 217 |}{| 9 |})}{4}$

解题步骤 14

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解题步骤 14.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $217$ 之间的距离为 $217$ 。

$\frac{\ln (\frac{217}{| 9 |})}{4}$

解题步骤 14.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $9$ 之间的距离为 $9$ 。

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\ln (\frac{217}{9})}{4}$

小数形式：

$0.79566819 \dots$

解题步骤 16

微积分学 示例

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