微积分学示例

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

解题步骤 1

将分数分解成多个分数。

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{- 1}{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

解题步骤 3.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

解题步骤 3.1.2.3

约去公因数。

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

解题步骤 3.1.2.4

重写表达式。

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

解题步骤 3.1.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

解题步骤 3.2

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 6

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

代入并化简。

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解题步骤 7.1.1

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

解题步骤 7.1.2

计算 $\ln (| x |)$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3

化简。

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解题步骤 7.1.3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2}$ 。

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.1.3.4

要将 $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{e^{2}}{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 7.1.3.5

组合 $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 7.1.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 7.1.3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{2} - 2 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 7.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{2}$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

$e$ 约为 $2.71828182$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{2}$

解题步骤 7.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{2}$

解题步骤 7.3.3

用 $e$ 除以 $1$ 。

$\frac{e^{2} - 2 \ln (e) - 1}{2}$

解题步骤 7.3.4

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\frac{e^{2} - 2 \cdot 1 - 1}{2}$

解题步骤 7.3.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2} - 2 - 1}{2}$

解题步骤 7.3.6

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

小数形式：

$2.19452804 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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