微积分学示例

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{3} - 3 x}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

从 $4 x^{3} - 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) - 3 x}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.1.2

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2}) + x \cdot - 3}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.1.3

从 $x (4 x^{2}) + x \cdot - 3$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x^{2}} d x$

解题步骤 1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\int_{1}^{e} \frac{x (4 x^{2} - 3)}{x \cdot x} d x$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\int_{1}^{e} \frac{4 x^{2} - 3}{x} d x$

解题步骤 2

用 $4 x^{2} - 3$ 除以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$3$

解题步骤 2.2

将被除数中的最高阶项 $4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$4 x$
	$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$

解题步骤 2.3

将新的商式项乘以除数。

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$4 x^{2}$	+	$0$

解题步骤 2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{2} + 0$ 中的所有符号

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$

解题步骤 2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$

解题步骤 2.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

				$4 x$
$x$	+	$0$		$4 x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$4 x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$3$

解题步骤 2.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int_{1}^{e} 4 x - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{e} 4 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{3}{x} d x$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{3}{x} d x$

解题步骤 8

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 9

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 10

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

解题步骤 11

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

解题步骤 11.1.2

计算 $\ln (| x |)$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.1.3

一的任意次幂都为一。

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 11.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 11.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.1

运用分配律。

$4 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 11.3.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 11.3.2.2

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 11.3.2.3

重写表达式。

$2 e^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 11.3.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.3.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 e^{2} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 11.3.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 e^{2} + 2 (2) \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 11.3.3.3

约去公因数。

$2 e^{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 11.3.3.4

重写表达式。

$2 e^{2} + 2 \cdot - 1 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 11.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 11.3.5

$e$ 约为 $2.71828182$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

解题步骤 11.3.6

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (\frac{e}{1})$

解题步骤 11.3.7

用 $e$ 除以 $1$ 。

$2 e^{2} - 2 - 3 \ln (e)$

解题步骤 11.3.8

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$2 e^{2} - 2 - 3 \cdot 1$

解题步骤 11.3.9

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{2} - 2 - 3$

解题步骤 11.3.10

从 $- 2$ 中减去 $3$ 。

$2 e^{2} - 5$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 e^{2} - 5$

小数形式：

$9.77811219 \dots$

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例