微积分学示例

$\int_{1}^{e} \ln (5 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (5 x)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln (5 x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\ln (5 x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\ln (5 x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$\ln (5 x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$\ln (5 x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e})$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $\ln (5 x) x$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\ln (5 e) e) - \ln (5 \cdot 1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e})$

解题步骤 4.2

计算 $x$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\ln (5 e) e) - \ln (5 \cdot 1) \cdot 1 - ((e) - 1)$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\ln (5 e) e - \ln (5) \cdot 1 - ((e) - 1)$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (5 e) e - \ln (5) - (e - 1)$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\ln (5 e) e - \ln (5) - e - - 1$

解题步骤 5.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (5 e) e - \ln (5) - e + 1$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (5 e) e - \ln (5) - e + 1$

小数形式：

$3.76546791 \dots$

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