微积分学示例

$\int_{0}^{120} 10 + \sqrt{t} d t$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{120} 10 d t + \int_{0}^{120} \sqrt{t} d t$

解题步骤 2

应用常数不变法则。

$10 t]_{0}^{120} + \int_{0}^{120} \sqrt{t} d t$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$10 t]_{0}^{120} + \int_{0}^{120} t^{\frac{1}{2}} d t$

解题步骤 4

根据幂法则， $t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ 。

$10 t]_{0}^{120} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{120}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $10 t]_{0}^{120}$ 和 $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{120}$ 。

$10 t + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{120}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $10 t + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ 在 $120$ 处和在 $0$ 处的值。

$(10 \cdot 120 + \frac{2}{3} \cdot 120^{\frac{3}{2}}) - (10 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $10$ 乘以 $120$ 。

$1200 + \frac{2}{3} \cdot 120^{\frac{3}{2}} - (10 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $120^{\frac{3}{2}}$ 。

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (10 \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.3

将 $10$ 乘以 $0$ 。

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.4

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.5

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 5.2.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.6.1

约去公因数。

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 5.2.2.6.2

重写表达式。

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 5.2.2.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

解题步骤 5.2.2.8

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $0$ 。

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + 0)$

解题步骤 5.2.2.9

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} - 0$

解题步骤 5.2.2.10

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3} + 0$

解题步骤 5.2.2.11

将 $1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$1200 + \frac{2 \cdot 120^{\frac{3}{2}}}{3}$

小数形式：

$2076.35609200 \dots$

解题步骤 7

微积分学 示例

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