微积分学示例

$\int_{0}^{10} \frac{24 t}{2 t + 3} d t$

解题步骤 1

由于 $24$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $24$ 移到积分外。

$24 \int_{0}^{10} \frac{t}{2 t + 3} d t$

解题步骤 2

用 $t$ 除以 $2 t + 3$ 。

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解题步骤 2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 t$

$3$

$t$

$0$

解题步骤 2.2

将被除数中的最高阶项 $t$ 除以除数中的最高阶项 $2 t$ 。

					$\frac{1}{2}$
	$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$

解题步骤 2.3

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$\frac{3}{2}$

解题步骤 2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $t + \frac{3}{2}$ 中的所有符号

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$

解题步骤 2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$
					-	$\frac{3}{2}$

解题步骤 2.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$24 \int_{0}^{10} \frac{1}{2} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$24 (\int_{0}^{10} \frac{1}{2} d t + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$24 (\frac{1}{2} t]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t$ 。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \int_{0}^{10} \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

解题步骤 7

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - (\frac{3}{2} \int_{0}^{10} \frac{1}{2 t + 3} d t))$

解题步骤 8

使 $u = 2 t + 3$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = 2 t + 3$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $2 t + 3$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t + 3]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $2 t + 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ 。

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$

解题步骤 8.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [2 t]$ 。

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解题步骤 8.1.3.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

解题步骤 8.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]$

解题步骤 8.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d t} [3]$

解题步骤 8.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 8.1.4.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 8.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 8.2

将下限代入替换 $u = 2 t + 3$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 3$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 3$

解题步骤 8.3.2

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$u_{lower} = 3$

解题步骤 8.4

将上限代入替换 $u = 2 t + 3$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 10 + 3$

解题步骤 8.5

化简。

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解题步骤 8.5.1

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$u_{upper} = 20 + 3$

解题步骤 8.5.2

将 $20$ 和 $3$ 相加。

$u_{upper} = 23$

解题步骤 8.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 23$

解题步骤 8.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

解题步骤 9.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{2 u} d u)$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2 \cdot 2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 12

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \ln (| u |)]_{3}^{23})$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{\ln (| u |)]_{3}^{23} \cdot 3}{4})$

解题步骤 13.2

将 $3$ 移到 $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ 的左侧。

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $\frac{t}{2}$ 在 $10$ 处和在 $0$ 处的值。

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

解题步骤 14.2

计算 $\ln (| u |)$ 在 $23$ 处和在 $3$ 处的值。

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

解题步骤 14.3

化简。

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解题步骤 14.3.1

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.1.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

解题步骤 14.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 14.3.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

解题步骤 14.3.1.2.2

约去公因数。

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

解题步骤 14.3.1.2.3

重写表达式。

$24 (\frac{5}{1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

解题步骤 14.3.1.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$24 (5 - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

解题步骤 14.3.2

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$24 (5 - \frac{2 (0)}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

解题步骤 14.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 14.3.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

解题步骤 14.3.2.2.2

约去公因数。

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

解题步骤 14.3.2.2.3

重写表达式。

$24 (5 - \frac{0}{1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

解题步骤 14.3.2.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$24 (5 - 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

解题步骤 14.3.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$24 (5 + 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

解题步骤 14.3.4

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$24 (5 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

解题步骤 14.3.5

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$24 (5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

解题步骤 14.3.6

组合 $5$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$24 (\frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

解题步骤 14.3.7

在公分母上合并分子。

$24 \frac{5 \cdot 4 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

解题步骤 14.3.8

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$24 \frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

解题步骤 14.3.9

组合 $24$ 和 $\frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$ 。

$\frac{24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{4}$

解题步骤 14.3.10

约去 $24$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.10.1

从 $24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4}$

解题步骤 14.3.10.2

约去公因数。

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解题步骤 14.3.10.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 (1)}$

解题步骤 14.3.10.2.2

约去公因数。

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 \cdot 1}$

解题步骤 14.3.10.2.3

重写表达式。

$\frac{6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{1}$

解题步骤 14.3.10.2.4

用 $6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ 除以 $1$ 。

$6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$

解题步骤 15

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$6 (20 - 3 \ln (\frac{| 23 |}{| 3 |}))$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $23$ 之间的距离为 $23$ 。

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{| 3 |}))$

解题步骤 16.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{3}))$

解题步骤 16.3

运用分配律。

$6 \cdot 20 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

解题步骤 16.4

将 $6$ 乘以 $20$ 。

$120 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

解题步骤 16.5

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

解题步骤 17

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

小数形式：

$83.33612530 \dots$

解题步骤 18

微积分学 示例

微积分学示例