微积分学示例

$y = - \frac{y}{x}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{y}{x})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{y}{x}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = y$ 且 $g (x) = x$ 。

$- \frac{x \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- \frac{x y' - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{x y' - y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot 0$

解题步骤 3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

将 $\frac{y}{x}$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + 0$

解题步骤 3.7.2

将 $- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{x y' - y}{x^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{x y' - y}{x^{2}}$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

两边同时乘以 $x^{2}$ 。

$y' x^{2} = - \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $- \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1

将 $- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2

约去公因数。

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.3

重写表达式。

$y' x^{2} = - (x y' - y)$

解题步骤 5.2.1.2

运用分配律。

$y' x^{2} = - (x y') - - y$

解题步骤 5.2.1.3

乘以 $- - y$ 。

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解题步骤 5.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y' x^{2} = - x y' + 1 y$

解题步骤 5.2.1.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y' x^{2} = - x y' + y$

解题步骤 5.2.1.4

移动 $x$ 。

$y' x^{2} = - 1 y' x + y$

解题步骤 5.3

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 1 y'$ 重写为 $- y'$ 。

$y' x^{2} = - y' x + y$

解题步骤 5.3.2

在等式两边都加上 $y' x$ 。

$y' x^{2} + y' x = y$

解题步骤 5.3.3

从 $y' x^{2} + y' x$ 中分解出因数 $y' x$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $y' x^{2}$ 中分解出因数 $y' x$ 。

$y' x \cdot x + y' x = y$

解题步骤 5.3.3.2

从 $y' x$ 中分解出因数 $y' x$ 。

$y' x \cdot x + y' x \cdot 1 = y$

解题步骤 5.3.3.3

从 $y' x \cdot x + y' x \cdot 1$ 中分解出因数 $y' x$ 。

$y' x (x + 1) = y$

解题步骤 5.3.4

将 $y' x (x + 1) = y$ 中的每一项除以 $x (x + 1)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $y' x (x + 1) = y$ 中的每一项都除以 $x (x + 1)$ 。

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

解题步骤 5.3.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.4.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

解题步骤 5.3.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

解题步骤 5.3.4.2.2

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

解题步骤 5.3.4.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{y}{x (x + 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (x + 1)}$

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