微积分学示例

$\int_{0}^{7} 4 x \cdot \sqrt[3]{x + 1} d x$

解题步骤 1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{0}^{7} x \sqrt[3]{x + 1} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sqrt[3]{x + 1}$ 。

$4 (x (\frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ 。

$4 (x \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

解题步骤 3.2

组合 $x$ 和 $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ 。

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{3}{4}$ 和 ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ 。

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4} d x)$

解题步骤 4

由于 $\frac{3}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{4}$ 移到积分外。

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - (\frac{3}{4} \int_{0}^{7} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x))$

解题步骤 5

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 5.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 7 + 1$

解题步骤 5.5

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 8$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \int_{1}^{8} u^{\frac{4}{3}} d u)$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{\frac{4}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ 。

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{3}{7}$ 和 $u^{\frac{7}{3}}$ 。

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8} \cdot 3}{4})$

解题步骤 7.3

将 $3$ 移到 $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}$ 的左侧。

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3 \cdot (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

解题步骤 7.4

要将 $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

解题步骤 7.5

组合 $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$4 (\frac{\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot 4}{4} - \frac{3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

解题步骤 7.6

在公分母上合并分子。

$4 \frac{\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot 4 - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$

解题步骤 7.7

将 $4$ 移到 $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ 的左侧。

$4 \frac{4 \cdot (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$

解题步骤 7.8

组合 $4$ 和 $\frac{4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$ 。

$\frac{4 (4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}))}{4}$

解题步骤 7.9

约去公因数。

$\frac{4 (4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}))}{4}$

解题步骤 7.10

用 $4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$ 除以 $1$ 。

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}$ 在 $7$ 处和在 $0$ 处的值。

$4 ((\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

解题步骤 8.2

计算 $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}$ 在 $8$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 ((\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$4 (\frac{7 (3 \cdot 8^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$4 (\frac{7 (3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.4.1

约去公因数。

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.4.2

重写表达式。

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{4})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$4 (\frac{7 (3 \cdot 16)}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.6

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$4 (\frac{7 \cdot 48}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.7

将 $7$ 乘以 $48$ 。

$4 (\frac{336}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.8

约去 $336$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.8.1

从 $336$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4 (1)} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.8.2.2

约去公因数。

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4 \cdot 1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.8.2.3

重写表达式。

$4 (\frac{84}{1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.8.2.4

用 $84$ 除以 $1$ 。

$4 (84 - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.9

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$4 (84 - \frac{0 (3 \cdot 1^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.10

一的任意次幂都为一。

$4 (84 - \frac{0 (3 \cdot 1)}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.11

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 (84 - \frac{0 \cdot 3}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.12

将 $0$ 乘以 $3$ 。

$4 (84 - \frac{0}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.13

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.13.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (84 - \frac{4 (0)}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.13.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.13.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.13.2.2

约去公因数。

$4 (84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.13.2.3

重写表达式。

$4 (84 - \frac{0}{1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.13.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$4 (84 - 0) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.14

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$4 (84 + 0) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.15

将 $84$ 和 $0$ 相加。

$4 \cdot 84 - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.16

将 $4$ 乘以 $84$ 。

$336 - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.17

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$336 - 3 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.18

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.19

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.19.1

约去公因数。

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.19.2

重写表达式。

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{7}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.20

对 $2$ 进行 $7$ 次方运算。

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 128}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.21

将 $3$ 乘以 $128$ 。

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

解题步骤 8.3.22

一的任意次幂都为一。

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3 \cdot 1}{7})$

解题步骤 8.3.23

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3}{7})$

解题步骤 8.3.24

在公分母上合并分子。

$336 - 3 \frac{384 - 3}{7}$

解题步骤 8.3.25

从 $384$ 中减去 $3$ 。

$336 - 3 (\frac{381}{7})$

解题步骤 8.3.26

组合 $- 3$ 和 $\frac{381}{7}$ 。

$336 + \frac{- 3 \cdot 381}{7}$

解题步骤 8.3.27

将 $- 3$ 乘以 $381$ 。

$336 + \frac{- 1143}{7}$

解题步骤 8.3.28

将负号移到分数的前面。

$336 - \frac{1143}{7}$

解题步骤 8.3.29

要将 $336$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$336 \cdot \frac{7}{7} - \frac{1143}{7}$

解题步骤 8.3.30

组合 $336$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{336 \cdot 7}{7} - \frac{1143}{7}$

解题步骤 8.3.31

在公分母上合并分子。

$\frac{336 \cdot 7 - 1143}{7}$

解题步骤 8.3.32

化简分子。

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解题步骤 8.3.32.1

将 $336$ 乘以 $7$ 。

$\frac{2352 - 1143}{7}$

解题步骤 8.3.32.2

从 $2352$ 中减去 $1143$ 。

$\frac{1209}{7}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1209}{7}$

小数形式：

$172.71428571 \dots$

带分数形式：

$172 \frac{5}{7}$

解题步骤 10

微积分学 示例

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