微积分学示例

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) + \sin (2 x) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

解题步骤 4

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 π$

解题步骤 4.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

解题步骤 4.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u$

解题步骤 7

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

解题步骤 8

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

计算 $- \cos (x)$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

解题步骤 8.2

计算 $- \cos (u)$ 在 $2 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((- \cos (2 π)) + \cos (0))$

解题步骤 8.3

去掉圆括号。

$2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

解题步骤 9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

解题步骤 9.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

解题步骤 10

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

解题步骤 10.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

解题步骤 10.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

解题步骤 10.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

解题步骤 10.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

解题步骤 10.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

解题步骤 10.7

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (0) + 1)$

解题步骤 10.8

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$4 + \frac{1}{2} (- 1 \cdot 1 + 1)$

解题步骤 10.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{1}{2} (- 1 + 1)$

解题步骤 10.10

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$4 + \frac{1}{2} \cdot 0$

解题步骤 10.11

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 10.12

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

微积分学 示例

微积分学示例