微积分学示例

$\int_{0}^{8} x e^{- \frac{x}{c}} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- \frac{x}{c}}$ 。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - c e^{- \frac{x}{c}} d x$

解题步骤 2

由于 $- c$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- c$ 移到积分外。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (- c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + 1 (c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

解题步骤 3.2

将 $c$ 乘以 $1$ 。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x$

解题步骤 4

使 $u = - \frac{x}{c}$ 。然后使 $d u = - \frac{1}{c} d x$ ，以便 $- c d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = - \frac{x}{c}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $- \frac{x}{c}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{c}]$

解题步骤 4.1.2

因为 $- \frac{1}{c}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{c}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{c} \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{c}$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = - \frac{x}{c}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - \frac{0}{c}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

用 $0$ 除以 $c$ 。

$u_{lower} = - 0$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = - \frac{x}{c}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

解题步骤 4.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

解题步骤 4.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{c}} d u$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{c}} d u$

解题步骤 5.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{c}$ 。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} (1 c) d u$

解题步骤 5.3

将 $c$ 乘以 $1$ 。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} c d u$

解题步骤 6

由于 $- c$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- c$ 移到积分外。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c (- c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

对 $c$ 进行 $1$ 次方运算。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

解题步骤 7.2

对 $c$ 进行 $1$ 次方运算。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c^{1}) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

解题步骤 7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{1 + 1} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

解题步骤 7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

解题步骤 8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $x (- c e^{- \frac{x}{c}})$ 在 $8$ 处和在 $0$ 处的值。

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

解题步骤 9.2

计算 $e^{u}$ 在 $- \frac{8}{c}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 (c e^{- \frac{8}{c}}) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

解题步骤 9.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 (c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

解题步骤 9.3.3

将 $c$ 乘以 $0$ 。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 e^{- \frac{0}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

解题步骤 9.3.4

将 $0$ 乘以 $e^{- \frac{0}{c}}$ 。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

解题步骤 9.3.5

将 $- 8 c e^{- \frac{8}{c}}$ 和 $0$ 相加。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

解题步骤 9.3.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1)$

解题步骤 10

化简每一项。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} \cdot - 1$

解题步骤 10.2

乘以 $- c^{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + 1 c^{2}$

解题步骤 10.2.2

将 $c^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + c^{2}$

解题步骤 11

微积分学 示例

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