微积分学示例

$\int_{0}^{π} (\sin^{6} (4 x)) \cos (4 x) d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \sin (4 x)$ 。然后使 $d u_{2} = 4 \cos (4 x) d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u_{2} = \cos (4 x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \sin (4 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sin (4 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\cos (4 x) \cdot 4$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $4$ 移到 $\cos (4 x)$ 的左侧。

$4 \cos (4 x)$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{2} = \sin (4 x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \sin (4 \cdot 0)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = \sin (0)$

解题步骤 1.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{2} = \sin (4 x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \sin (4 π)$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$u_{upper} = \sin (0)$

解题步骤 1.5.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 1.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} \frac{1}{4} d u_{2}$

解题步骤 2

组合 ${u_{2}}^{6}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\int_{0}^{0} \frac{{u_{2}}^{6}}{4} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} d u_{2}$

解题步骤 4

根据幂法则， ${u_{2}}^{6}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{0}^{0}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ 在 $0$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{7} \cdot 0^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{7} \cdot 0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 5.2.2

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

解题步骤 5.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0)$

解题步骤 5.2.4

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} (0 + 0 (\frac{1}{7}))$

解题步骤 5.2.5

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{7}$ 。

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

解题步骤 5.2.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} \cdot 0$

解题步骤 5.2.7

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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